2. Zadatak

Rastavimo broj $60$ na proste faktore: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. Umnožak dva broja je djeljiv sa $60$ ako su u njegovom rastavu na proste faktore dvije dvojke, jedna trojka i jedna petica. Ti prosti brojevi moraju biti djelitelji barem jednog od faktora u umnošku.

Broju $\overline{4b8}$ posljednja je znamenka $8$, pa broj $\overline{65a}$ mora biti djeljiv s $5$.

Broj je djeljiv s $5$, ako mu je posljednja znamenka $0$ ili $5$. Slijedi da je $a \in \{0, 5\}$.

Prvi slučaj. Ako je $a = 0$, onda je prvi broj $650$ i on je djeljiv i brojem $2$ i brojem $5$.

Broj je djeljiv s $3$ ako mu je zbroj znamenaka djeljiv brojem $3$.

Broj $650$ nije djeljiv s $3$ (jer $6 + 5 + 0 = 11$ nije višekratnik od $3$).

Broj je djeljiv s $4$ ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s $4$, tj. ako mu je dvoznamenkasti završetak $00$, $04$, $08$, $12$, $16, \ldots, 92$, $96$. Broj $650$ nije djeljiv s $4$ jer $50$ nije višekratnik broja $4$.

Stoga broj $\overline{4b8}$ mora biti djeljiv s $2$ i $3$.

Broj je djeljiv s $2$ ako mu je posljednja znamenka $0$, $2$, $4$, $6$ ili $8$, pa je $\overline{4b8}$ djeljiv s $2$ za bilo koji odabir znamenke $b$.

No, zbog uvjeta djeljivosti s $3$ i zato što vrijedi $4 + b + 8 = 12 + b$, vrijedi $b \in \{0, 3, 6, 9\}$.

Drugi slučaj. Ako je $a = 5$, onda je prvi broj $655$ i on je djeljiv s $5$, ali nije ni s $2$ (posljednja znamenka je $5$) ni s $3$ ($6 + 5 + 5 = 16$ nije višekratnik broja $3$).

Stoga broj $\overline{4b8}$ mora biti djeljiv sa $4$ i $3$ (dvije dvojke i trojka u rastavu broja $60$)

Broj $\overline{4b8}$ je djeljiv s $4$ ako mu je dvoznamenkasti završetak $08$, $28$, $48$, $68$ ili $88$ pa je $b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

No, zbog uvjeta djeljivosti s $3$ zbroja $4 + b + 8 = 12 + b$ znamenke $2$, $4$ i $8$ u zbroju ne daju višekratnik od $3$ pa je $b \in \{0, 6\}$.

Traženi parovi znamenaka $a$ i $b$ su $(a, b) \in \{(0, 0), (0, 3), (0, 6), (0, 9), (5, 0), (5, 6)\}$.