1. Zadatak

Prvi način:

Neka je kralj imao $x$ dukata.

Raspodjela u omjeru $2:1$ znači da će obitelji pripasti $\frac{2}{3}x$, a državi $\frac{1}{3}x$ dukata.

Obiteljski dio dijeli se između djece i kraljice u omjeru $3:1$.

Djeca će dobiti $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}x=\frac{1}{2}x$, a kraljici će ostati $\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}x=\frac{1}{6}x$.

Budući da je kralj imao dva sina i dvije kćeri, oni dijele svoj dio u omjeru $4:1$.

Sinovima će pripasti $\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{2}{5}x$, a kćerima $\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{10}x$.

Na kraju stariji i mlađi sin dijele svoj dio u omjeru $5:1$.

Stariji će sin dobiti $\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5}x=\frac{1}{3}x$, a mlađi $\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{5}x=\frac{1}{15}x$.

Dakle, kraljica je dobila $\frac{1}{6}x$ dukata, a mlađi sin $\frac{1}{15}x$ dukata.

Poznato je da razlika $\frac{1}{6}x-\frac{1}{15}x=\frac{1}{10}x$ iznosi 300 dukata, pa je onda cijelo nasljedstvo $x=3000$ dukata.

Starijem sinu pripala je trećina, dakle 1000 dukata.

Drugi način:

Najmanje dukata dobit će mlađa kći. Neka je ona dobila $x$ dukata.

Budući da je mlađa kći dijelila dukate sa starijom sestrom u omjeru $1:5$, onda je starija kći dobila $5x$ dukata.

Sestre su zajedno dobile $6x$ dukata. Taj iznos su dobile nakon podijele dukata između njih i braće, u omjeru $1:4$. Dakle, braća su dobila 4 puta više, odnosno $24x$ dukata.

Tih $24x$ dukata braća su podijelila između sebe u omjeru $1:5$, tako da je mlađi sin dobio $4x$ dukata, a stariji sin $20x$ dukata.

Djeca su, svi zajedno, dobili $x+5x+4x+20x=30x$ dukata. Taj iznos su dobili nakon raspodijele s majkom, u omjeru $3:1$. Majka je onda dobila $10x$ dukata.

Usporedbom broja dukata majke i mlađeg sina dobije se jednadžba:

$$10x-4x=300,$$

čije je rješenje $x=50$.

Stariji je sin dobio $20x=20\cdot50=1000$ dukata.