4. Zadatak

Prvi način:

Označimo vrhove pravilnog dvanaesterokuta $A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{12}$, središte opisane (i upisane) kružnice sa $S$, duljinu stranice dvanaesterokuta s $a$, duljinu najkraće dijagonale s $d$, duljinu polumjera opisane kružnice s $R$ i duljinu polumjera upisane kružnice s $r$.

Veličina unutarnjeg kuta pravilnog dvanaesterokuta je

$$\frac{(12-2)\cdot180^\circ}{12}=150^\circ.$$

Odaberimo jedan jednakokračan trokut s osnovicom duljine $d$ i krakom duljine $a$, primjerice $\triangle A_1A_2A_3$ i s $P$ označimo polovište stranice $\overline{A_1A_3}$.

Tada možemo izračunati veličine kutova pravokutnog trokuta $\triangle A_2A_3P$:

$$|\angle PA_2A_3|=\frac{150^\circ}{2}=75^\circ$$ $$|\angle A_2A_3P|=90^\circ-75^\circ=15^\circ.$$

$\triangle A_1A_2S$ je karakteristični trokut pravilnog dvanaesterokuta pa je $|\angle A_2SA_1|=360^\circ:12=30^\circ$.

Neka je $M$ nožište visine iz vrha $S$ na osnovicu $a$, odnosno $N$ nožište visine iz vrha $A_1$ na krak.

Vrijedi:

$$|\angle A_2SM|=\frac{30^\circ}{2}=15^\circ$$ $$|\angle MA_2S|=90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$

Uočimo da su $\triangle PA_2A_3$ i $\triangle MA_2S$ slični po KK poučku, stoga vrijedi razmjer

$$r:\frac{d}{2}=R:a,$$

pa je

$$ar=R\cdot\frac{d}{2}. \tag{1}$$

$\triangle A_1NS$ je polovica jednakostraničnog trokuta pa je $|A_1N|=\frac{R}{2}$.

$$P_{12}=12\cdot P_{\triangle A_1A_2S} =12\cdot\frac{1}{2}\cdot R\cdot|A_1N| =6\cdot R\cdot\frac{R}{2} =3R^2. \tag{2}$$

S druge strane

$$P_{12}=12\cdot\frac{ar}{2}=6ar.$$

Iz ovoga i (1) slijedi

$$P_{12}=6ar=6\cdot R\cdot\frac{d}{2}=3Rd. \tag{3}$$

Iz (2) i (3) je $3R^2=3Rd$, odnosno $R=d=10$ cm.

$$P_{12}=3R^2=3\cdot10^2=300\text{ cm}^2.$$

Površina pravilnog dvanaesterokuta je 300 cm$^2$.

Drugi način:

Neka su $A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{11}$ i $A_{12}$ vrhovi pravilnog dvanaesterokuta, $S$ središte opisane (i upisane) kružnice, a $R$ duljina polumjera opisane kružnice.

Veličina unutarnjeg kuta pravilnog dvanaesterokuta je

$$\frac{(12-2)\cdot180^\circ}{12}=150^\circ.$$

Neka je $P$ sjecište dužine $\overline{A_1A_3}$ i dužine $\overline{A_2S}$.

$\triangle A_1A_2S$ je karakteristični trokut pravilnog dvanaesterokuta, pa je $|\angle A_2SA_1|=360^\circ:12=30^\circ$.

Kutovi uz osnovicu karakterističnog trokuta $\triangle A_1A_2S$ su sukladni, pa je

$$|\angle SA_1A_2|=|\angle A_1A_2S|=(180^\circ-30^\circ):2=75^\circ.$$

$\triangle A_1A_2A_3$ je jednakokračan trokut s osnovicom $\overline{A_1A_3}$.

Kutovi uz osnovicu trokuta $\triangle A_1A_2A_3$ su sukladni i veličine

$$|\angle A_3A_1A_2|=|\angle A_2A_3A_1|=(180^\circ-150^\circ):2=15^\circ.$$

U trokutu $\triangle A_1A_2P$ veličine dvaju kutova su $75^\circ$ i $15^\circ$, pa je treći kut veličine $90^\circ$, odnosno $|\angle A_2PA_1|=90^\circ$. Iz toga slijedi da su dužine $\overline{A_1A_3}$ i $\overline{A_2S}$ međusobno okomite.

U jednakokračnom trokutu $\triangle A_1A_3S$ ($|A_1S|=|A_3S|$) kutovi $\angle SA_1A_3$ i $\angle A_1A_3S$ su jednake veličine jer su to kutovi uz osnovicu i iznose svaki $(180^\circ-60^\circ):2=60^\circ$.

Dakle, $\triangle A_1A_3S$ je jednakostraničan sa stranicom duljine 10 cm.

Iz toga slijedi i da je radijus $R$ pravilnom dvanaesterokutu opisane kružnice također 10 cm.

Četverokut $A_1A_2A_3S$ je četverokut s okomitim dijagonalama, pa je njegova površina jednaka polovini umnoška duljina njegovih dijagonala, tj.

$$P(A_1A_2A_3S)=\frac{|A_1A_3|\cdot|A_2S|}{2}.$$

Odnosno

$$P(A_1A_2A_3S)=\frac{10\cdot10}{2}=50\text{ cm}^2.$$

U pravilnom dvanaesterokutu ima 6 sukladnih četverokuta površine 50 cm$^2$, pa je njegova površina 300 cm$^2$.

Treći način:

Neka su $A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{11}$ i $A_{12}$ vrhovi pravilnog dvanaesterokuta, $S$ središte opisane kružnice, a točka $N$ sjecište dužina $\overline{A_1A_3}$ i $\overline{SA_2}$.

Dužina $\overline{A_1A_3}$ je jedna od najkraćih dijagonala i vrijedi $|A_1A_3|=10$ cm.

$\triangle A_1A_2S$ je karakteristični trokut pravilnog dvanaesterokuta pa je $|\angle A_2SA_1|=360^\circ:12=30^\circ$.

Tada je $\angle A_3SA_1=60^\circ$.

U jednakokračnom trokutu $\triangle A_1A_3S$ ($|A_1S|=|A_3S|$) kutovi $\angle SA_1A_3$ i $\angle A_1A_3S$ su jednake veličine jer su to kutovi uz osnovicu i iznose svaki $(180^\circ-60^\circ):2=60^\circ$.

Dakle, $\triangle A_1A_3S$ je jednakostraničan sa stranicom duljine 10 cm.

Iz toga slijedi da je polumjer opisane kružnice $|A_1S|=10$ cm.

Četverokut $A_1A_2A_3S$ je deltoid ($|A_1A_2|=|A_2A_3|$, $|A_1S|=|A_3S|$), pa su mu dijagonale okomite i uzdužna dijagonala $\overline{SA_2}$ raspolavlja poprečnu dijagonalu $\overline{A_1A_3}$.

Dakle, točka $N$ je polovište dužine $\overline{A_1A_3}$, pa je

$$|A_1N|=\frac{1}{2}|A_1A_3|=5\text{ cm}.$$

Tada je

$$P(\triangle A_1A_2S)=\frac{1}{2}\cdot|SA_2|\cdot|A_1N| =\frac{1}{2}\cdot10\cdot5=25\text{ cm}^2,$$

a površina dvanaesterokuta je $12\cdot25=300$ cm$^2$.