5. Zadatak

Označimo veličinu središnjeg kuta $\angle ASB$ s $\alpha$. Onda je veličina njemu pripadnog obodnog kuta $\angle ADB$ jednaka $\frac{\alpha}{2}$. Također, ako veličinu središnjeg kuta $\angle CSD$ označimo s $\beta$, onda je veličina njemu pripadnog obodnog kuta $\angle CAD$ jednaka $\frac{\beta}{2}$.

Sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ označimo s $E$ i promatramo $\triangle AED$. Veličina vanjskog kuta kod vrha $E$ je $60^\circ$ i jednaka je zbroju veličina unutarnjih kutova kod vrhova $A$ i $D$. Iz

$$\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=60^\circ$$

slijedi $\alpha+\beta=120^\circ$.

Promatramo $\triangle BCS$. Tada je

$$\angle CSB=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Kako je $|BS|=|CS|$, vrijedi $|\angle BCS|=|\angle SBC|$. Tada je veličina svakog od tih dvaju kutova jednaka:

$$\frac{180^\circ-\angle CSB}{2}=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

$\triangle BCS$ je jednakostraničan budući da su veličine svih triju kutova jednake $60^\circ$.