3. Zadatak

Prvi način:

Traženo vrijeme je 5 sati + $x$ sati, gdje je $x<1$.

Za to vrijeme mala kazaljka prijeđe $(5+x)\cdot30^\circ$, jer za jedan sat prijeđe put koji odgovara kutu veličine $30^\circ$.

Velika kazaljka je u 5 sati bila na broju 12, što znači da će za još $x$ sati prijeći put koji odgovara veličini kuta od $x\cdot360^\circ$.

Kad se kazaljke poklope, veličine kutova obiju kazaljki biti će iste:

$$(5+x)\cdot30^\circ=x\cdot360^\circ\quad/:30^\circ$$ $$5+x=12x$$ $$11x=5$$ $$x=\frac{5}{11}\text{ sata}.$$

Dobiveni $x$ treba zapisati u minutama, sekundama:

$$\frac{5}{11}\cdot60'=\frac{300'}{11}=27'+\frac{3'}{11}=27'+\frac{3}{11}\cdot60''=27'+16''+\frac{4''}{11}\approx27'16''.$$

Kazaljke će se poklopiti u približno 5 sati 27 minuta i 16 sekunda.

Drugi način:

U 5 sati mala kazaljka se nalazi na broju 5 (5 sati), a velika na 12 (0 minuta).

Neka je $x$ vrijeme (u minutama) koje još treba proteći do prvog poklapanja kazaljki.

Velika kazaljka za 60 minuta prijeđe put koji odgovara punom kutu ($360^\circ$), a za jednu minutu $6^\circ$.

Mala kazaljka za 60 minuta prijeđe put koji odgovara kutu od $360^\circ:12=30^\circ$, a za jednu minutu $30^\circ:60=0.5^\circ$.

Za traženih $x$ minuta mala kazaljka prijeđe put koji odgovara kutu od $0.5^\circ x$.

Za isto to vrijeme velika kazaljka će prijeći put koji odgovara kutu od $6^\circ x$, a koji je jednak kutu od $150^\circ$ (od oznake 12 do oznake 5 na satu) uvećanom za $0.5^\circ x$.

Vrijedi:

$$6^\circ x-0.5^\circ x=150^\circ$$

Rješenje jednadžbe je

$$x=\frac{300}{11}=27\frac{3}{11}\text{ (minuta)}.$$

Vidi se da je $\frac{3}{11}$ minute $\frac{180}{11}$ sekunda, odnosno $16\frac{4}{11}$ sekunda.

Kazaljke će se poklopiti u približno 5 sati 27 minuta i 16 sekunda.

Treći način:

I velika i mala kazaljka sata kreću se stalnom (jednolikom) brzinom, što znači da između svaka dva njihova poklapanja protekne jednako vremena.

Budući da se u jednom 12-satnom ciklusu kazaljke poklope 11 puta (svakih sat i „nešto“) taj vremenski razmak moguće je dobiti dijeljenjem vremenskog razdoblja od 12 sati na 11 jednakih dijelova.

Kada 12 sati podijelimo s 11, dobijemo 1 sat i ostatak 1.

Taj ostatak od jednog sata pretvorimo u 60 minuta i ponovo dijelimo sa 11.

Rezultat je 5 minuta, a ostatak je također 5.

Tih 5 minuta ostatka pretvorimo u 300 sekundi i dijelimo s 11.

Rezultat je 27 sekundi i ostatak 3.

Time smo dobili da se preklapanja velike i male kazaljke događaju svakih 1 sat, 5 minuta, 27 sekundi i 3 jedanaestine sekunde.

Iza 5 sati dogodit će se peto preklapanje kazaljki.

Ono će se dogoditi nakon 5 sati, 25 minuta, 135 sekunda (tj. 2 minute i 15 sekunda) i 15 jedanaestina sekunde (što je još jedna puna sekunda).

Prvo preklapanje kazaljki sata iz 5 sati događa se približno u 5 sati, 27 minuta i 16 sekunda.