5. Zadatak

U tablicu s $3$ retka i $n$ stupaca treba upisati brojeve na sljedeći način:

u svakome od triju redaka moraju biti napisani svi prirodni brojevi od $1$ do $n$ ,
zbroj brojeva u svakome stupcu mora biti jednak.

a) Pokaži da $n$ ne može biti $10$ .

b) Odredi broj takvih rasporeda ako je $n=5$ .

a) Za $n=10$ tablica bi imala $3$ retka i $10$ stupaca.

Ako bi u svakom retku bilo napisano prvih $10$ prirodnih brojeva, zbroj svih brojeva u tablici bi bio jednak $3\cdot(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=3\cdot55=165$ .

Ako bi u svakom stupcu zbroj brojeva bio isti, onda bi zbroj u jednom stupcu trebao biti $165:10=16.5$ .

To nije moguće jer je zbroj tri prirodna broja prirodan broj.

b) Neka je $n=5$ . Jedan raspored koji zadovoljava uvjete iz zadatka je prikazan u sljedećoj tablici.

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$3$	$4$	$5$	$1$	$2$
$5$	$3$	$1$	$4$	$2$

Želimo pokazati da bilo kojom zamjenom poretka redaka i stupaca dobivamo drugačiji željeni raspored. Promjenom poretka redaka dobivamo ukupno šest različitih rasporeda:

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$3$	$4$	$5$	$1$	$2$
$5$	$3$	$1$	$4$	$2$

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$5$	$3$	$1$	$4$	$2$
$3$	$4$	$5$	$1$	$2$

$3$	$4$	$5$	$1$	$2$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$5$	$3$	$1$	$4$	$2$

$3$	$4$	$5$	$1$	$2$
$5$	$3$	$1$	$4$	$2$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

$5$	$3$	$1$	$4$	$2$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$3$	$4$	$5$	$1$	$2$

$5$	$3$	$1$	$4$	$2$
$3$	$4$	$5$	$1$	$2$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

U svakom od tih rasporeda možemo promijeniti poredak stupaca tako da u prvom retku raspored brojeva bude redom od $1$ do $5$ . Te rasporede zovemo temeljnima:

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$3$	$4$	$5$	$1$	$2$
$5$	$3$	$1$	$4$	$2$

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$5$	$3$	$1$	$4$	$2$
$3$	$4$	$5$	$1$	$2$

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$4$	$5$	$1$	$2$	$3$
$4$	$2$	$5$	$3$	$1$

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$4$	$2$	$5$	$3$	$1$
$4$	$5$	$1$	$2$	$3$

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$3$	$5$	$2$	$4$	$1$
$5$	$2$	$4$	$1$	$3$

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$5$	$2$	$4$	$1$	$3$
$3$	$5$	$2$	$4$	$1$

Promijenimo li poredak stupaca u bilo kojem od tih rasporeda dobit ćemo novi željeni raspored. Svaka dva rasporeda koja se dobivaju na taj način su različita jer će im ili biti različit prvi redak ili im je prvi redak isti, ali su dobiveni od različitih temeljnih rasporeda.

Za svaki od temeljnih šest rasporeda premještanjem stupaca dobijemo

5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120

različitih rasporeda, pa svih mogućih rasporeda ima $6\cdot120=720$ .

Dokažimo da ne postoji nijedan drugi raspored koji zadovoljava uvjete zadatka. Svakom takvom rasporedu možemo promijeniti poredak stupaca tako da je prvi redak tablice popunjen redom brojevima od $1$ do $5$ . Tvrdimo da na taj način moramo dobiti jedan od šest temeljnih rasporeda.

Ako bi u svakom retku bilo napisano prvih pet prirodnih brojeva, zbroj svih brojeva u tablici bi bio jednak $3\cdot(1+2+3+4+5)=3\cdot15=45$ . Da bi u svakom stupcu zbroj bio isti, taj zbroj mora biti $45:5=9$ .

Taj zbroj se može postići na sljedeće načine:

1+3+5,\quad 1+4+4,\quad 2+2+5,\quad 2+3+4\ \text{i}\ 3+3+3.

Mogućnost $3+3+3$ možemo eliminirati jer bismo njome iskoristili sva tri broja $3$ , a ostatak tablice ne bismo mogli po stupcima ispuniti koristeći samo mogućnosti $1+4+4$ i $2+2+5$ . Da bi svaki od brojeva u tablici bio zastupljen točno $3$ puta, potrebno je dva puta iskoristiti mogućnost $1+3+5$ i po jednom $1+4+4$ , $2+2+5$ i $2+3+4$ . Ostale mogućnosti ne postoje.

Brojeve $1$ , $3$ i $5$ tada možemo upisati u $1.$ , $3.$ ili $5.$ stupac. Budući da tu trojku možemo iskoristiti dva puta, možemo ih upisati na tri načina: u $1.$ i $3.$ stupac, u $1.$ i $5.$ stupac ili u $3.$ i $5.$ stupac. Ostale stupce tada možemo popuniti na jedinstven način. Za svaki od ta tri načina zamjenom $2.$ i $3.$ retka dobijemo po dva slučaja, što daje točno $6$ temeljnih rasporeda.