3. Zadatak

Prvo rješenje.

Vrijedi sljedeći niz jednakosti:

$$\begin{aligned} a+ab+b&=441\\ a+ab+b+1&=442\\ b(a+1)+a+1&=442\\ (a+1)(b+1)&=442. \end{aligned}$$

Broj $442$ rastavljamo na proste faktore: $442=2\cdot13\cdot17$.

Broj $442$ možemo prikazati kao umnožak dva prirodna broja na sljedeće načine:

$$442=1\cdot442=2\cdot221=13\cdot34=17\cdot26.$$

Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $a<b$, jer se traži umnožak $ab$.

Rastav $442=1\cdot442$ ne daje prirodne brojeve $a$ i $b$, a iz ostalih rastava imamo sljedeće mogućnosti:

$$a=1,\ b=220,\ ab=220,$$ $$a=12,\ b=33,\ ab=396,$$ $$a=16,\ b=25,\ ab=400.$$

Drugo rješenje.

Vrijedi sljedeći niz jednakosti:

$$\begin{aligned} a+ab&=441-b\\ a(1+b)&=441-b\ /:(1+b),\ b\neq-1\\ a&=\frac{441-b}{1+b}\\ a&=\frac{441-b}{1+b} =\frac{-b-1+442}{b+1} =\frac{-(b+1)+442}{b+1} =-1+\frac{442}{b+1}. \end{aligned}$$

Broj $442$ rastavljamo na proste faktore: $442=2\cdot13\cdot17$.

Broj $442$ možemo prikazati kao umnožak dva prirodna broja na sljedeće načine:

$$442=1\cdot442=2\cdot221=13\cdot34=17\cdot26.$$

Broj $b+1$ mora biti djelitelj broja $442$ da bi $a$ bio cijeli broj, ali, kako je $a,b\in\mathbb{N}$, promatramo sljedeće mogućnosti:

$b+1$	$b$	$a$	$ab$
$2$	$1$	$220$	$220$
$221$	$220$	$1$	$220$
$13$	$12$	$33$	$396$
$34$	$33$	$12$	$396$
$17$	$16$	$25$	$400$
$26$	$25$	$16$	$400$

Umnožak $ab$ može biti $220$, $396$ ili $400$.