4. Zadatak

Na produžetku stranice $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ preko vrha $B$ označena je točka $A'$ takva da je $|AB|=|BA'|$ . Na produžetku stranice $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ preko vrha $C$ označena je točka $B'$ takva da je $|BC|=|CB'|$ , a na produžetku stranice $\overline{CA}$ trokuta $ABC$ preko vrha $A$ označena je točka $C'$ takva da je $|CA|=|AC'|$ . Koliko je puta površina trokuta $A'B'C'$ veća od površine trokuta $ABC$ ?

Rješenje

Prvo rješenje.

Skica:

Prva skica trokuta ABC i A'B'C'

Neka je točka $D$ nožište visine trokuta $ABC$ iz vrha $A$ na stranicu $\overline{BC}$ , a točka $E$ nožište visine trokuta $BA'B'$ iz vrha $A'$ na pravac $BC$ .

Trokuti $ABD$ i $A'BE$ su sukladni pravokutni trokuti po poučku KSK jer vrijedi $|AB|=|BA'|$ i imaju dva para sukladnih kutova (pravi kutovi kod vrhova $D$ i $E$ te vršni kutovi s vrhom $B$ ).

Iz sukladnosti tih trokuta slijedi $|AD|=|EA'|=v_a$ .

Površina trokuta $ABC$ jednaka je

P_{ABC}=\frac{|BC|\cdot|AD|}{2}=\frac{a\cdot v_a}{2},

a površina trokuta $BA'B'$ je

P_{BA'B'}=\frac{|BB'|\cdot|EA'|}{2}=\frac{2a\cdot v_a}{2}=2P_{ABC}.

Na isti se način može pokazati da je $P_{CB'C'}=2P_{ABC}$ i $P_{A'AC'}=2P_{ABC}$ .

Površina trokuta $A'B'C'$ može se izračunati kao zbroj površina trokuta $ABC$ , $BA'B'$ , $CB'C'$ i $A'AC'$ , odnosno vrijedi

P_{A'B'C'}=P_{ABC}+P_{BA'B'}+P_{CB'C'}+P_{A'AC'}=7P_{ABC}.

Prema tome, površina trokuta $A'B'C'$ je $7$ puta veća od površine trokuta $ABC$ .

Drugo rješenje.

Skica:

Druga skica trokuta ABC i A'B'C'

Neka je točka $N$ nožište visine trokuta $ABC$ iz vrha $C$ na stranicu $\overline{AB}$ , a točka $D$ nožište visine trokuta $BA'B'$ iz vrha $B'$ na pravac $AB$ . Nacrtamo dužinu $\overline{CE}$ paralelnu s $\overline{DN}$ tako da dobijemo pravokutnik $DNCE$ .

Trokuti $NBC$ i $ECB'$ su sukladni pravokutni trokuti po poučku KSK jer vrijedi $|BC|=|CB'|$ i imaju dva para sukladnih kutova (pravi kutovi kod vrhova $N$ i $E$ te kutovi s usporednim kracima $\measuredangle CBA$ i $\measuredangle B'CE$ ).

Iz sukladnosti tih trokuta slijedi $|CN|=|B'E|=v_c$ .

Četverokut $DNCE$ je pravokutnik pa je $|CN|=|ED|=v_c$ .

Iz toga slijedi da je $|B'E|=|ED|=v_c$ , pa je $|B'D|=2|CN|=2v_c$ .