2. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Kako je $|AC| = |AP|$, trokut APC je jednakokračan.

Tada je $|\angle CPA| = |\angle ACP|$.

Neka je $|\angle CPA| = |\angle ACP| = \alpha$.

Kako je $|BC| = |BR|$, trokut BCR je jednakokračan.

Tada je $|\angle RCB| = |\angle BRC|$.

Neka je $|\angle RCB| = |\angle BRC| = \beta$.

Neka je $|\angle RCP| = x$.

Tada je

$$\alpha + \beta = 112^\circ + x$$

U trokutu CRP je $\alpha + \beta + x = 180^\circ$.

Slijedi:

$$112^\circ + x + x = 180^\circ$$ $$2x = 68^\circ$$ $$x = |\angle RCP| = 34^\circ$$

Drugi način:

Skica:

Neka je $|\angle RCP| = z$, $|\angle BAC| = \alpha$ i $|\angle ABC| = \beta$.

Kako zbroj veličina unutarnjih kutova trokuta iznosi $180^\circ$, u trokutima ACP i BCR slijedi

$$x = \frac{180^\circ - \alpha}{2}, \qquad y = \frac{180^\circ - \beta}{2}.$$

U trokutu PCR sada vrijedi

$$x + y + z = 180^\circ$$

odnosno

$$\frac{180^\circ - \alpha}{2} + \frac{180^\circ - \beta}{2} + z = 180^\circ$$ $$\frac{(180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta)}{2} + z = 180^\circ$$

Tada je:

$$\frac{360^\circ - (\alpha + \beta)}{2} + z = 180^\circ$$ $$\frac{360^\circ - (180^\circ - 112^\circ)}{2} + z = 180^\circ$$ $$146^\circ + z = 180^\circ$$

Dakle, $|\angle RCP| = z = 34^\circ$.