5. Zadatak

Petar je nacrtao trokut $A_1B_1C_1$ , a zatim kraj njega još jedan trokut $A_2B_2C_2$ s jednom stranicom $\overline{B_2C_2}$ upola manjom od stranice $\overline{B_1C_1}$ u prvom trokutu i pripadnom visinom upola manjom nego u prvom trokutu. Zatim je pored drugog nacrtao treći trokut $A_3B_3C_3$ sa stranicom $\overline{B_3C_3}$ upola manjom od stranice $\overline{B_2C_2}$ u drugom trokutu i visinom na tu stranicu upola manjom od odgovarajuće visine u drugom trokutu. Na isti način je od trećeg trokuta dobio četvrti, od četvrtog peti i od petog šesti trokut. Zbroj površina svih nacrtanih trokuta iznosi $4\,095\text{ cm}^2$ . Odredi površine najvećeg i najmanjeg nacrtanog trokuta.

Skica:

Skica niza trokuta

Označimo s $a_1$ duljinu stranice prvog trokuta, a s $v_1$ duljinu pripadne visine u prvom trokutu. Tada je površina tog trokuta

P_1 = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot v_1

Označimo s $a_2$ duljinu odgovarajuće stranice drugog trokuta, a s $v_2$ duljinu pripadne visine u drugom trokutu. Tada je površina tog trokuta

P_2 = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot v_2

Kako vrijedi $a_2 = \frac{1}{2}a_1$ i $v_2 = \frac{1}{2}v_1$ , slijedi

P_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}a_1 \cdot \frac{1}{2}v_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}a_1 \cdot v_1 = \frac{1}{4}P_1

Na isti način zaključujemo

P_3 = \frac{1}{4}P_2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{16}P_1

P_4 = \frac{1}{4}P_3 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16}P_1 = \frac{1}{64}P_1

P_5 = \frac{1}{4}P_4 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{64}P_1 = \frac{1}{256}P_1

P_6 = \frac{1}{4}P_5 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{256}P_1 = \frac{1}{1\,024}P_1

Vrijedi:

P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 + P_6 = 4\,095

P_1 + \frac{1}{4}P_1 + \frac{1}{16}P_1 + \frac{1}{64}P_1 + \frac{1}{256}P_1 + \frac{1}{1\,024}P_1 = 4\,095

P_1\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \frac{1}{256} + \frac{1}{1\,024}\right) = 4\,095

P_1 \cdot \frac{1\,365}{1\,024} = 4\,095

P_1 = \frac{4\,095 \cdot 1\,024}{1\,365}

P_1 = 3\,072\text{ cm}^2

P_6 = \frac{1}{1\,024} \cdot 3\,072 = 3\text{ cm}^2

Površina najvećeg trokuta $3\,072\text{ cm}^2$ , a najmanjeg $3\text{ cm}^2$ .