3. Zadatak

Treba izračunati s koliko nula završava umnožak $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2\,018 \cdot 2\,019$.

Broj završava sa onoliko nula koliko puta se u rastavu svih brojeva na proste faktore pojavljuje umnožak $2 \cdot 5 = 10$.

Kako je među brojevima manjim od $2\,020$ više višekratnika broja 2 nego broja 5, očito se u tom zapisu broj 2 pojavljuje više puta nego broj 5. Zato je potrebno prebrojiti koliko se puta broj 5 pojavljuje u zapisu cijelog umnoška kao umnoška prostih brojeva.

Faktor 5 se pojavljuje u svim višekratnicima broja 5 barem jednom. Pritom se kod višekratnika broja $5 \cdot 5 = 25$ pojavljuje barem dva puta, kod višekratnika broja $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ barem tri puta. U svakom višekratniku broja $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$ manjim od $2\,020$ faktor 5 se pojavljuje točno četiri puta. Pet puta se ne može pojaviti jer je $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3\,125$, a taj broj je veći od $2\,019$.

Višekratnika broja 5 manjih od $2\,020$ ima 403 jer je $2\,019 : 5 = 403$ i ostatak 4.

Višekratnika broja 25 manjih od $2\,020$ ima 80 jer je $2\,019 : 25 = 80$ i ostatak 19.

Višekratnika broja 125 manjih od $2\,020$ ima 16 jer je $2\,019 : 125 = 16$ i ostatak 19.

Višekratnika broja 625 manjih od $2\,020$ ima 3 jer je $2\,019 : 625 = 3$ i ostatak 144.

Stoga se broj 5 u rastavima na proste faktore svih brojeva iz umnoška pojavljuje

$$403 + 80 + 16 + 3 = 502$$

puta.

Prema tome, umnožak prvih 2 019 prirodnih brojeva završava s 502 nule.