1. Zadatak

Prvi način:

Ako je korijen prirodan broj, broj pod korijenom mora također biti prirodan.

Vrijedi:

$$\frac{a+64}{a-64}=1+\frac{128}{a-64}.$$

Broj $a-64$ mora biti djelitelj broja 128. Negativne djelitelje ne treba ni promatrati, jer će za njih promatrani broj biti ili negativan ili jednak 0, pa korijeni ili ne postoje ili su jednaki 0 što nije prirodan broj.

Pogledajmo tablicu:

$a-64$	1	2	4	8	16	32	64	128
$a-64$	1	2	4	8	16	32	64	128
$a$	65	66	68	72	80	96	128	192
$\frac{128}{a-64}$	128	64	32	16	8	4	2	1
$1+\frac{128}{a-64}$	129	65	33	17	9	5	3	2

Dakle, 9 je jedini kvadrat broja, tj. postoji samo jedan broj $a=80$ za koji je

$$\sqrt{\frac{a+64}{a-64}}$$

također prirodan broj.

Drugi način:

Ako je korijen prirodan broj, broj pod korijenom mora također biti prirodan.

Označimo

$$x=\frac{a+64}{a-64}$$

i iz toga izrazimo $a$.

$$ax-64x=a+64$$ $$ax-a=64x+64$$ $$a\cdot(x-1)=64x+64$$ $$a=\frac{64x+64}{x-1}$$ $$a=\frac{64x-64+128}{x-1}$$ $$a=64+\frac{128}{x-1}.$$

Broj $x-1$ mora biti djelitelj broja 128. Budući da su brojevi $x$ i $a$ prirodni brojevi, promatramo samo djelitelje broja 128 koji su također prirodni brojevi.

Djelitelji broja 128 su 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 i 128.

Ako $x-1$ poprima te vrijednosti, onda je $x$ (redom) 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65 i 129.

Među njima je jedino korijen broja 9 prirodan broj.

Onda je

$$a=64+\frac{128}{8}=80$$

jedini broj s traženim svojstvom.