4. Zadatak

Dan je jednakokračan trokut ABC s osnovicom $\overline{AB}$ duljine 10 cm i krakom duljine 13 cm. Neka je D točka stranice $\overline{BC}$ takva da je $|BD|:|DC|=1:2$ i neka je E točka stranice $\overline{CA}$ takva da je $|CE|:|EA|=1:2$ . Izračunaj $|DE|$ .

Rješenje

Prvi način:

Neka je P polovište osnovice $\overline{AB}$ . Budući da je trokut ABC jednakokračan, to je $\overline{CP}$ okomita na $\overline{AB}$ . Točkama D i E nacrtajmo okomice na $\overline{CP}$ i nožišta tih okomica označimo redom kao točke F i G. Produljimo dužinu $\overline{FD}$ preko točke F i na tom pravcu označimo točku H takvu da je HFGE pravokutnik. Tada je $\triangle HDE$ pravokutan trokut s hipotenuzom $\overline{DE}$ .

Službena skica trokuta i pomoćnih okomica, prvi način

Iz uvjeta koje zadovoljavaju točke E i D, $|CE|:|EA|=1:2$ i $|BD|:|DC|=1:2$ , slijedi $|CE|:|CA|=1:3$ i $|DC|:|BC|=2:3$ (tj. $|CE|=\frac{13}{3}\ \mathrm{cm}$ i $|DC|=\frac{26}{3}\ \mathrm{cm}$ ) te $|AP|=5\ \mathrm{cm}$ .

Iz pravokutnog trokuta APC slijedi da je

|PC|=\sqrt{|AC|^2-|AP|^2}=12\ \mathrm{cm}.

Trokuti EGC i APC su slični (po poučku KK), pa je $|EG|:|AP|=|CE|:|CA|=1:3$ , odnosno

|EG|=\frac{|AP|}{3}=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}

i $|GC|:|PC|=1:3$ , odnosno

|GC|=\frac{|PC|}{3}=4\ \mathrm{cm}.

Trokuti DFC i PBC su slični (po poučku KK), pa je $|FD|:|PB|=|DC|:|BC|=2:3$ , odnosno

|FD|=\frac{2|PB|}{3}=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}

i $|FC|:|PC|=2:3$ , odnosno

|FC|=\frac{2|PC|}{3}=8\ \mathrm{cm}.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut EHD dobivamo

\begin{aligned} |DE|&=\sqrt{|HD|^2+|EH|^2}\\ &=\sqrt{\left(|HF|+|FD|\right)^2+|FG|^2}\\ &=\sqrt{\left(|EG|+|FD|\right)^2+\left(|FC|-|GC|\right)^2}\\ &=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}. \end{aligned}

Drugi način:

Nadopunimo sliku na sljedeći način:

Iz točaka D i E povuku se usporednice s osnovicom trokuta AB (dobiju se točke F i G), a zatim se povuku okomice iz točaka C i E (te se označe točke H, I i J).

Službena dopunjena skica trokuta, drugi način

Prema Talesovom poučku, usporedni pravci na krakovima odsijecaju proporcionalne dužine.

Zbog $|BC|=|AC|$ je $|AG|=|BD|=\frac{1}{3}|AC|$ i $|CE|=\frac{1}{3}|AC|$ , te je i $|GE|=\frac{1}{3}|AC|$ .

Točka J je polovište jednakokračnog trokuta ABC, pa je $|AJ|=5\ \mathrm{cm}$ . Iz pravokutnog trokuta AJC slijedi da je

|CJ|^2=13^2-5^2=144,

odnosno $|CJ|=12\ \mathrm{cm}$ .

Trokuti CEI i CAJ su slični (po poučku KK) pa je, zbog $|CE|:|CA|=1:3$ ,

|CE|=\frac{13}{3}\ \mathrm{cm},\qquad |EI|=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}\quad\text{i}\quad |CI|=4\ \mathrm{cm}.

Po istom poučku slični su trokuti GDC i ABC.

Zbog $|CD|:|CB|=2:3$ je

|GD|=\frac{2}{3}|AB|=\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}.

Trokuti CEI i EGH su sukladni (KSK poučak) pa je $|GH|=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$ i $|EH|=4\ \mathrm{cm}$ .

Tada je

|HD|=|GD|-|GH|=\frac{20}{3}-\frac{5}{3}=\frac{15}{3}=5\ \mathrm{cm}.

Iz pravokutnog trokuta EHD slijedi:

|ED|^2=|EH|^2+|HD|^2=4^2+5^2=41.

Dakle,

|ED|=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}.