4. Zadatak

Prvi način:

Neka je P polovište osnovice (\overline{AB}). Budući da je trokut ABC jednakokračan, to je (\overline{CP}) okomita na (\overline{AB}). Točkama D i E nacrtajmo okomice na (\overline{CP}) i nožišta tih okomica označimo redom kao točke F i G. Produljimo dužinu (\overline{FD}) preko točke F i na tom pravcu označimo točku H takvu da je HFGE pravokutnik. Tada je (\triangle HDE) pravokutan trokut s hipotenuzom (\overline{DE}).

Iz uvjeta koje zadovoljavaju točke E i D, (|CE|:|EA|=1:2) i (|BD|:|DC|=1:2), slijedi (|CE|:|CA|=1:3) i (|DC|:|BC|=2:3) (tj. (|CE|=\frac{13}{3}\ \mathrm{cm}) i (|DC|=\frac{26}{3}\ \mathrm{cm})) te (|AP|=5\ \mathrm{cm}).

Iz pravokutnog trokuta APC slijedi da je

$$|PC|=\sqrt{|AC|^2-|AP|^2}=12\ \mathrm{cm}.$$

Trokuti EGC i APC su slični (po poučku KK), pa je (|EG|:|AP|=|CE|:|CA|=1:3), odnosno

$$|EG|=\frac{|AP|}{3}=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$$

i (|GC|:|PC|=1:3), odnosno

$$|GC|=\frac{|PC|}{3}=4\ \mathrm{cm}.$$

Trokuti DFC i PBC su slični (po poučku KK), pa je (|FD|:|PB|=|DC|:|BC|=2:3), odnosno

$$|FD|=\frac{2|PB|}{3}=\frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$$

i (|FC|:|PC|=2:3), odnosno

$$|FC|=\frac{2|PC|}{3}=8\ \mathrm{cm}.$$

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut EHD dobivamo

$$\begin{aligned} |DE|&=\sqrt{|HD|^2+|EH|^2}\\ &=\sqrt{\left(|HF|+|FD|\right)^2+|FG|^2}\\ &=\sqrt{\left(|EG|+|FD|\right)^2+\left(|FC|-|GC|\right)^2}\\ &=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Drugi način:

Nadopunimo sliku na sljedeći način:

Iz točaka D i E povuku se usporednice s osnovicom trokuta AB (dobiju se točke F i G), a zatim se povuku okomice iz točaka C i E (te se označe točke H, I i J).

Prema Talesovom poučku, usporedni pravci na krakovima odsijecaju proporcionalne dužine.

Zbog (|BC|=|AC|) je (|AG|=|BD|=\frac{1}{3}|AC|) i (|CE|=\frac{1}{3}|AC|), te je i (|GE|=\frac{1}{3}|AC|).

Točka J je polovište jednakokračnog trokuta ABC, pa je (|AJ|=5\ \mathrm{cm}). Iz pravokutnog trokuta AJC slijedi da je

$$|CJ|^2=13^2-5^2=144,$$

odnosno (|CJ|=12\ \mathrm{cm}).

Trokuti CEI i CAJ su slični (po poučku KK) pa je, zbog (|CE|:|CA|=1:3),

$$|CE|=\frac{13}{3}\ \mathrm{cm},\qquad |EI|=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}\quad\text{i}\quad |CI|=4\ \mathrm{cm}.$$

Po istom poučku slični su trokuti GDC i ABC.

Zbog (|CD|:|CB|=2:3) je

$$|GD|=\frac{2}{3}|AB|=\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}.$$

Trokuti CEI i EGH su sukladni (KSK poučak) pa je (|GH|=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}) i (|EH|=4\ \mathrm{cm}).

Tada je

$$|HD|=|GD|-|GH|=\frac{20}{3}-\frac{5}{3}=\frac{15}{3}=5\ \mathrm{cm}.$$

Iz pravokutnog trokuta EHD slijedi:

$$|ED|^2=|EH|^2+|HD|^2=4^2+5^2=41.$$

Dakle,

$$|ED|=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}.$$