3. Zadatak

Prema uvjetu zadatka je (v_c:t_c=12:13) pa postoji realan broj (k) takav da je (v_c=12k) i (t_c=13k).

Označimo sa N nožište visine nacrtane vrhom C, a sa S polovište hipotenuze c.

Kako je trokut ABC pravokutan, točka S je središte opisane kružnice trokuta, pa je

$$\frac{c}{2}=t_c=13k.$$

Označimo (|NS|=x). U pravokutnom trokutu NSC vrijedi

$$x^2=t_c^2-v_c^2=169k^2-144k^2=25k^2.$$

Zato je (x=5k).

Slijedi da je

$$|AN|=\frac{c}{2}-x=13k-5k=8k.$$

Dalje možemo na dva načina.

Prvi način: Uz oznake (\angle CAB=\alpha) i (\angle ABC=\beta) je (\alpha+\beta=90^\circ). Budući da su trokuti ANC i CNB pravokutni, slijedi da je (\angle NCA=\beta) i (\angle BCN=\alpha).

Zato su trokuti ANC i CNB slični po poučku KK, pa vrijedi

$$\frac{a}{b}=\frac{v_c}{\frac{c}{2}-x}=\frac{12k}{8k}=\frac{3}{2}=3:2.$$

Drugi način: Trokuti ABC i ACN imaju jedan zajednički kut ((\angle BAC), odnosno (\angle NAC)) i oba imaju jedan pravi kut, pa su slični po poučku KK.

Tada vrijedi:

$$\frac{a}{b}=\frac{v_c}{|AN|}=\frac{12k}{8k}=\frac{3}{2}=3:2.$$