3. Zadatak

Prema uvjetu zadatka je $v_c:t_c=12:13$ pa postoji realan broj $k$ takav da je $v_c=12k$ i $t_c=13k$.

Označimo sa N nožište visine nacrtane vrhom C, a sa S polovište hipotenuze c.

Kako je trokut ABC pravokutan, točka S je središte opisane kružnice trokuta, pa je

$$\frac{c}{2}=t_c=13k.$$

Označimo $|NS|=x$. U pravokutnom trokutu NSC vrijedi

$$x^2=t_c^2-v_c^2=169k^2-144k^2=25k^2.$$

Zato je $x=5k$.

Slijedi da je

$$|AN|=\frac{c}{2}-x=13k-5k=8k.$$

Dalje možemo na dva načina.

Prvi način: Uz oznake $\angle CAB=\alpha$ i $\angle ABC=\beta$ je $\alpha+\beta=90^\circ$. Budući da su trokuti ANC i CNB pravokutni, slijedi da je $\angle NCA=\beta$ i $\angle BCN=\alpha$.

Zato su trokuti ANC i CNB slični po poučku KK, pa vrijedi

$$\frac{a}{b}=\frac{v_c}{\frac{c}{2}-x}=\frac{12k}{8k}=\frac{3}{2}=3:2.$$

Drugi način: Trokuti ABC i ACN imaju jedan zajednički kut ($\angle BAC$, odnosno $\angle NAC$) i oba imaju jedan pravi kut, pa su slični po poučku KK.

Tada vrijedi:

$$\frac{a}{b}=\frac{v_c}{|AN|}=\frac{12k}{8k}=\frac{3}{2}=3:2.$$