2. Zadatak

S je središte kružnica, a točka D diralište tangente $\overline{BC}$ i kružnice $k_2$.

Duljine polumjera kružnica $k_1$ i $k_2$ označimo redom sa $r_1$ i $r_2$. Iz uvjeta zadatka slijedi omjer $r_1:r_2=3:1$, odnosno $r_1=3r_2$.

Prema Talesovom poučku obodni kut $\angle ABC$ nad promjerom $\overline{AC}$ je pravi kut. Prema tome, trokut $\triangle ABC$ je pravokutan.

Tetiva $\overline{BC}$ kružnice $k_1$ je i tangenta kružnice $k_2$, te je okomita na polumjer $\overline{SD}$. Prema tome, i $\triangle SDC$ je pravokutan.

Trokuti $\triangle ABC$ i $\triangle SDC$ su slični po poučku KK (trokuti imaju jedan zajednički kut pri vrhu C i oba imaju jedan pravi kut).

Iz sličnosti trokuta $\triangle ABC$ i $\triangle SDC$ slijedi proporcionalnost duljina njihovih stranica:

$$\frac{|AB|}{|SD|}=\frac{|AC|}{|SC|}\quad\Rightarrow\quad\frac{12}{r_2}=\frac{6r_2}{3r_2}\quad\Rightarrow\quad r_2=6\ \mathrm{cm},$$

a $r_1=18\ \mathrm{cm}$.

Površina kružnog vijenca računa se po formuli

$$P=(r_1^2-r_2^2)\pi,$$

gdje su $r_1$ i $r_2$ duljine polumjera kružnica $k_1$ i $k_2$.

Prema tome, površina kružnog vijenca je

$$P=(324-36)\pi\ \mathrm{cm}^2=288\pi\ \mathrm{cm}^2.$$

Napomena: Površina kružnog vijenca može se dobiti tako da se posebno izračunaju površine krugova omeđenih kružnicama $k_1$ i $k_2$, a zatim se te vrijednosti oduzmu.