2. Zadatak

S je središte kružnica, a točka D diralište tangente (\overline{BC}) i kružnice (k_2).

Duljine polumjera kružnica (k_1) i (k_2) označimo redom sa (r_1) i (r_2). Iz uvjeta zadatka slijedi omjer (r_1:r_2=3:1), odnosno (r_1=3r_2).

Prema Talesovom poučku obodni kut (\angle ABC) nad promjerom (\overline{AC}) je pravi kut. Prema tome, trokut (\triangle ABC) je pravokutan.

Tetiva (\overline{BC}) kružnice (k_1) je i tangenta kružnice (k_2), te je okomita na polumjer (\overline{SD}). Prema tome, i (\triangle SDC) je pravokutan.

Trokuti (\triangle ABC) i (\triangle SDC) su slični po poučku KK (trokuti imaju jedan zajednički kut pri vrhu C i oba imaju jedan pravi kut).

Iz sličnosti trokuta (\triangle ABC) i (\triangle SDC) slijedi proporcionalnost duljina njihovih stranica:

$$\frac{|AB|}{|SD|}=\frac{|AC|}{|SC|}\quad\Rightarrow\quad\frac{12}{r_2}=\frac{6r_2}{3r_2}\quad\Rightarrow\quad r_2=6\ \mathrm{cm},$$

a (r_1=18\ \mathrm{cm}).

Površina kružnog vijenca računa se po formuli

$$P=(r_1^2-r_2^2)\pi,$$

gdje su (r_1) i (r_2) duljine polumjera kružnica (k_1) i (k_2).

Prema tome, površina kružnog vijenca je

$$P=(324-36)\pi\ \mathrm{cm}^2=288\pi\ \mathrm{cm}^2.$$

Napomena: Površina kružnog vijenca može se dobiti tako da se posebno izračunaju površine krugova omeđenih kružnicama (k_1) i (k_2), a zatim se te vrijednosti oduzmu.