5. Zadatak

Označimo broj točaka na drugom pravcu s (x).

Na prvom je pravcu 8 točaka, koje čine

$$\frac{8\cdot7}{2}=28$$

dužina.

Svaka od tih dužina sa svakom od (x) točaka na drugom pravcu čini jedan trokut. Takvih je trokuta (28x).

Ako je na drugom pravcu (x) točaka, one određuju

$$\frac{x\cdot(x-1)}{2}$$

dužina.

Svaka dužina sa svakom od 8 točaka na prvom pravcu također čini trokut. Takvih je trokuta (4x^2-4x).

Ukupan broj trokuta je 640. Vrijedi:

$$28x+4x^2-4x=640$$

[ 4x^2+24x-640=0\quad/\ :4 ]

$$x^2+6x-160=0.$$

Dobivena kvadratna jednadžba riješi se rastavljanjem srednjeg člana i izlučivanjem (prvi način):

$$x^2+16x-10x-160=0$$

[ x\cdot(x+16)-10\cdot(x+16)=0 ]

$$(x+16)\cdot(x-10)=0.$$

Iz (x+16=0) slijedi (x_1=-16), a iz (x-10=0) slijedi (x_2=10).

Budući da broj točaka mora biti prirodni broj, na drugom je pravcu 10 točaka.

Napomena 1: Jednadžba (x^2+6x-160=0) se može riješiti i na sljedeća dva načina:

Drugi način:

$$x^2+6x-160=0$$

[ (x+3)^2-9-160=0 ]

$$(x+3)^2=169$$

[ x+3=\sqrt{169} ]

[ x_1+3=13\qquad x_2+3=-13 ]

[ x_1=10\qquad x_2=-16 ]

Broj točaka mora biti prirodan broj, dakle na drugom je pravcu 10 točaka.

Treći način:

Iz (x^2+6x=160) slijedi (x(x+6)=160).

Kako je (x) prirodan broj, zaključujemo da (x) mora biti djelitelj broja (160=2^5\cdot5).

Za svaku mogućnost da je (x) djelitelj broja 160 provjerimo je li (x(x+6)=160) i ustanovimo da je jedino rješenje (x=10).