5. Zadatak

Označimo broj točaka na drugom pravcu s $x$.

Na prvom je pravcu 8 točaka, koje čine

$$\frac{8\cdot7}{2}=28$$

dužina.

Svaka od tih dužina sa svakom od $x$ točaka na drugom pravcu čini jedan trokut. Takvih je trokuta $28x$.

Ako je na drugom pravcu $x$ točaka, one određuju

$$\frac{x\cdot(x-1)}{2}$$

dužina.

Svaka dužina sa svakom od 8 točaka na prvom pravcu također čini trokut. Takvih je trokuta $4x^2-4x$.

Ukupan broj trokuta je 640. Vrijedi:

$$28x+4x^2-4x=640$$ $$4x^2+24x-640=0\quad/\ :4$$ $$x^2+6x-160=0.$$

Dobivena kvadratna jednadžba riješi se rastavljanjem srednjeg člana i izlučivanjem (prvi način):

$$x^2+16x-10x-160=0$$ $$x\cdot(x+16)-10\cdot(x+16)=0$$ $$(x+16)\cdot(x-10)=0.$$

Iz $x+16=0$ slijedi $x_1=-16$, a iz $x-10=0$ slijedi $x_2=10$.

Budući da broj točaka mora biti prirodni broj, na drugom je pravcu 10 točaka.

Napomena 1: Jednadžba $x^2+6x-160=0$ se može riješiti i na sljedeća dva načina:

Drugi način:

$$x^2+6x-160=0$$ $$(x+3)^2-9-160=0$$ $$(x+3)^2=169$$ $$x+3=\sqrt{169}$$ $$x_1+3=13\qquad x_2+3=-13$$ $$x_1=10\qquad x_2=-16$$

Broj točaka mora biti prirodan broj, dakle na drugom je pravcu 10 točaka.

Treći način:

Iz $x^2+6x=160$ slijedi $x(x+6)=160$.

Kako je $x$ prirodan broj, zaključujemo da $x$ mora biti djelitelj broja $160=2^5\cdot5$.

Za svaku mogućnost da je $x$ djelitelj broja 160 provjerimo je li $x(x+6)=160$ i ustanovimo da je jedino rješenje $x=10$.