3. Zadatak
Neki troznamenkasti broj 21 je puta veći od zbroja svojih znamenaka. Dokaži da je taj broj djeljiv brojem 9. Odredi taj troznamenkasti broj.
Neka je x=\overline{abc} traženi troznamenkasti broj.
Prema uvjetu zadatka vrijedi x=21·(a+b+c)=3·7·(a+b+c).
To znači da je x djeljiv s 3.
No, tada je zbroj njegovih znamenaka djeljiv s 3 odnosno postoji prirodni broj k takav da je a+b+c=3k.
Slijedi x=3·7·3·k=9·7·k i time je dokazano da je x djeljiv s 9.
Kako su a, b i c znamenke traženog troznamenkastog broja, za njih vrijedi
0<a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9.
Zbog toga za zbroj znamenki imamo tri mogućnosti:
1.) a+b+c=9, 2.) a+b+c=18, 3.) a+b+c=27.
1.) 21·9=189 ≠ 21·(1+8+9)=378
2.) 21·18=378 = 21·(3+7+8)=378
3.) 21·27=567 ≠ 21·(5+6+7)=378
Dakle, traženi troznamenkasti broj je 378.