5. Zadatak

Prvo rješenje.

Prema uvjetu zadatka vrijedi $|AE|+|AF|=|AB|$, pa budući da vrijedi i $|AE|+|BE|=|AB|$, vrijedi $|AF|=|BE|$. Zbog $|DF|+|AF|=|AD|=|AB|$ vrijedi $|AE|=|DF|$.

Četverokut $ABCD$ je romb, pa su mu sve stranice jednakih duljina, nasuprotni kutovi su sukladni, a susjedni kutovi suplementarni. Tupim je kutovima veličina $120^\circ$, pa je veličina šiljastih kutova $180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

Nacrtajmo dijagonalu $\overline{AC}$. Dijagonala romba raspolavlja kut $\angle BAD$ na kutove veličine $60^\circ$, pa su trokuti $ABC$ i $ACD$ jednakostranični, tj. dijagonala $\overline{AC}$ sukladna je stranici romba.

Promotrimo trokute $DFC$ i $AEC$. Vrijedi $|CD|=|AC|$, $|\angle FDC|=|\angle EAC|=60^\circ$ i $|DF|=|AE|$, pa su ovi trokuti sukladni po SKS poučku. Tada je $|CF|=|CE|$, pa je trokut $CFE$ jednakokračan s osnovicom $\overline{EF}$. Također, vrijedi $|\angle DCF|=|\angle ACE|=\alpha$.

Trokuti $CFA$ i $CEB$ sukladni su po SSS poučku. Stoga vrijedi $|\angle FCA|=|\angle ECB|=\beta$.

Sada je $|\angle DCB|=2\alpha+2\beta=120^\circ$, $\alpha+\beta=60^\circ=|\angle FCE|$.

Trokut $CFE$ je jednakokračan s kutom među krakovima veličine $60^\circ$. Kutovi uz njegovu osnovicu $\overline{EF}$ su sukladni, zbroj veličina im je $120^\circ$, pa je veličina svakog jednaka $60^\circ$.

Konačno, trokut $CFE$ je jednakostraničan, što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju možemo pokazati da vrijedi

$$|AE|=|DF|,\qquad |BE|=|AF|,\qquad\text{te}\qquad|\angle CBA|=|\angle CAD|=|\angle BAC|=60^\circ.$$

Nacrtajmo pravce koji sadrže točke $E$ i $F$, a usporedni su s dijagonalom $\overline{AC}$. Neka su $G$ i $H$ presjeci tih pravaca sa stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ redom.

Promotrimo trokute $EBG$ i $DFH$. Mjere kutova $\angle BAC$ i $\angle BEG$ uz presječnicu $\overline{AB}$ usporednih pravaca $\overline{AC}$ i $\overline{EG}$ jednake su i iznose $60^\circ$, pa je trokut $EBG$ jednakostraničan i vrijedi $|BE|=|BG|=|EG|$.

Mjere kutova $\angle CAD$ i $\angle HFD$ uz presječnicu $\overline{AD}$ usporednih pravaca $\overline{AC}$ i $\overline{FH}$ jednake su i iznose $60^\circ$, pa je trokut $DFH$ jednakostraničan i vrijedi $|DF|=|DH|=|FH|$.

Vrijedi i $|CH|=|AF|$ te $|CG|=|AE|$.

Promotrimo trokute $FAE$, $EGC$ i $CHF$. U njima vrijedi sljedeće:

• $|AF|=|EG|=|CH|$
• $|\angle EAF|=|\angle CGE|=|\angle FHC|=120^\circ$
• $|AE|=|CG|=|FH|$.

Zaključujemo da su ovi trokuti svi međusobno sukladni po SKS poučku.

Tada je i $|EF|=|CE|=|CF|$, pa je trokut $CFE$ jednakostraničan, što je i trebalo dokazati.