3. Zadatak

Brojevi $\overline{abc}$ i $\overline{cba}$ su djeljivi s $18$, dakle parni su, iz čega slijedi da su znamenke $a$ i $c$ parne. One ne mogu biti međusobno jednake jer bi tada brojevi $\overline{abc}$ i $\overline{cba}$ bili jednaki, pa im $18$ ne bi bio najveći zajednički djelitelj.

Kako je $\overline{abc}$ paran, a najveći zajednički djelitelj brojeva $\overline{abc}$ i $\overline{acb}$ je neparan, znamenka $b$ mora biti neparna.

Zbog djeljivosti s $9$, zbroj znamenki $a+b+c$ mora biti djeljiv s $9$. Kako su $a$ i $c$ parni, a $b$ neparan, ovaj zbroj je neparan. Slijedi da je $a+b+c=9$. Kako su sve znamenke $a,b,c$ barem $1$, iz posljednje jednakosti slijedi da su sve manje od $8$.

Zaključujemo da mora biti $a,c\in\{2,4,6\}$. Jedine mogućnosti za $(a,c)$ koje zadovoljavaju sve uvjete jesu

$$(2,4),(2,6),(4,2),(6,2).$$

Stoga su $234$, $216$, $432$ i $612$ jedini kandidati za tražene troznamenkaste brojeve.

Za broj $\overline{abc}=216$ vrijedi da $4$ dijeli brojeve $\overline{abc}=216$ i $\overline{cba}=612$, zbog čega njihov najveći zajednički djelitelj nije $18$. Iz istog razloga, broj $\overline{abc}=612$ ne zadovoljava uvjete zadatka.

Preostaje provjeriti zadovoljavaju li brojevi $234$ i $432$ uvjete zadatka. To se lako vidi iz njihova rastava na proste faktore:

$$234=2\cdot3^2\cdot13,\qquad 432=2^4\cdot3^3,\qquad 243=3^5\qquad\text{i}\qquad423=3^2\cdot47.$$

Dakle, traženi troznamenkasti brojevi su $234$ i $432$.