5. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Neka je (a) duljina stranice kvadrata.

Tada je

$$|AE|=|BF|=|CG|=|DH|=\frac14a,\qquad |BE|=|CF|=|DG|=|AH|=\frac34a.$$

Trokuti (\triangle HAE), (\triangle EBF), (\triangle FCG) i (\triangle GDH) su međusobno sukladni (pravokutni trokuti sa sukladnim stranicama duljina (\frac14a) i (\frac34a), prema poučku S-K-S o sukladnosti).

Iz sukladnosti tih trokuta slijedi

$$|FE|=|GF|=|HG|=|EH|=x.$$

Promotrimo trokut (\triangle HAE).

Neka je (|\angle AEH|=\alpha) i (|\angle EHA|=\beta). Vrijedi (\alpha+\beta=90^\circ).

Zbog sukladnosti trokuta (\triangle HAE) i (\triangle EBF) je (|\angle BEF|=\beta).

Zato je

$$|\angle HEF|=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Na isti način može se pokazati da je

$$|\angle EFG|=|\angle FGH|=|\angle GHE|=90^\circ.$$

Četverokut (EFGH) je kvadrat jer ima sve stranice jednake duljine i sve kutove prave.

Zatamnjeni dio čini polovinu kvadrata (EFGH).

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut (\triangle HAE) dobivamo

$$\left(\frac14a\right)^2+\left(\frac34a\right)^2=x^2.$$

Nakon kvadriranja i zbrajanja slijedi

$$x^2=\frac58a^2.$$

Kako je (a^2=80), (površina zadanog kvadrata), slijedi

$$x^2=\frac58\cdot80=50.$$

Površina kvadrata (EFGH) iznosi 50 cm², a zatamnjenog dijela 25 cm².