5. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Neka je $a$ duljina stranice kvadrata.

Tada je

$$|AE|=|BF|=|CG|=|DH|=\frac14a,\qquad |BE|=|CF|=|DG|=|AH|=\frac34a.$$

Trokuti $\triangle HAE$, $\triangle EBF$, $\triangle FCG$ i $\triangle GDH$ su međusobno sukladni (pravokutni trokuti sa sukladnim stranicama duljina $\frac14a$ i $\frac34a$, prema poučku S-K-S o sukladnosti).

Iz sukladnosti tih trokuta slijedi

$$|FE|=|GF|=|HG|=|EH|=x.$$

Promotrimo trokut $\triangle HAE$.

Neka je $|\angle AEH|=\alpha$ i $|\angle EHA|=\beta$. Vrijedi $\alpha+\beta=90^\circ$.

Zbog sukladnosti trokuta $\triangle HAE$ i $\triangle EBF$ je $|\angle BEF|=\beta$.

Zato je

$$|\angle HEF|=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Na isti način može se pokazati da je

$$|\angle EFG|=|\angle FGH|=|\angle GHE|=90^\circ.$$

Četverokut $EFGH$ je kvadrat jer ima sve stranice jednake duljine i sve kutove prave.

Zatamnjeni dio čini polovinu kvadrata $EFGH$.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $\triangle HAE$ dobivamo

$$\left(\frac14a\right)^2+\left(\frac34a\right)^2=x^2.$$

Nakon kvadriranja i zbrajanja slijedi

$$x^2=\frac58a^2.$$

Kako je $a^2=80$, (površina zadanog kvadrata), slijedi

$$x^2=\frac58\cdot80=50.$$

Površina kvadrata $EFGH$ iznosi 50 cm², a zatamnjenog dijela 25 cm².