1. Zadatak

Prvi način:

$$\frac{5n^2-9}{2n+6} =\frac{5n^2-45+36}{2(n+3)} =\frac{5(n^2-9)+36}{2(n+3)} =\frac{5(n-3)(n+3)}{2(n+3)}+\frac{36}{2(n+3)} =\frac{5(n-3)}{2}+\frac{18}{n+3}$$

Da bi vrijednost tog razlomka bila cijeli broj mora biti:

a) $n-3$ paran broj, odnosno $n$ neparan broj,

b) $n+3\in\{1,-1,2,-2,3,-3,6,-6,9,-9,18,-18\}$.

Kako je $n$ neparan, onda je $n+3$ paran broj pa je

$$n+3\in\{2,-2,6,-6,18,-18\}.$$

Sada je

$$n\in\{-1,-5,3,-9,15,-21\}.$$

Drugi način:

$$\frac{5n^2-9}{2n+6} =\frac{5\left(n^2-\frac95\right)}{2(n+3)} =\frac52\left[\frac{n(n+3)-3n-\frac95}{n+3}\right]$$ $$=\frac52\left[n-\frac{3n+\frac95}{n+3}\right] =\frac52\left[n-\frac{3(n+3)-9+\frac95}{n+3}\right]$$ $$=\frac52\left[n-3+\frac{\frac{36}{5}}{n+3}\right] =\frac52(n-3)+\frac52\cdot\frac{36}{5(n+3)}$$ $$=\frac52(n-3)+\frac{18}{n+3}$$

Da bi vrijednost tog razlomka bila cijeli broj mora biti:

a) $n-3$ paran broj, odnosno $n$ neparan broj,

b) $n+3\in\{1,-1,2,-2,3,-3,6,-6,9,-9,18,-18\}$.

Kako je $n$ neparan, onda je $n+3$ paran broj pa je

$$n+3\in\{2,-2,6,-6,18,-18\}.$$

Sada je

$$n\in\{-1,-5,3,-9,15,-21\}.$$