4. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Zadana se jednadžba može zapisati u obliku

$$d^2-30d+v^2-24v+369=0$$

odnosno nadopunom na potpuni kvadrat

$$(d-15)^2-225+(v-12)^2-144+369=0$$

i konačno

$$(d-15)^2+(v-12)^2=0.$$

Lijeva strana jednadžbe jednaka je 0 ako je (d-15=0) i (v-12=0).

Iz (d-15=0) slijedi da je (d=15\ \text{cm}), a

iz (v-12=0) slijedi da je (v=12\ \text{cm}).

Na produžetku stranice (\overline{AB}) preko vrha (B) odaberimo točku (E) tako da je (d(B,E)=d(C,D)).

Tada je (d(A,E)=a+c).

Četverokut (BECD) je paralelogram pa je (d(C,E)=d=15\ \text{cm}).

Iz pravokutnog trokuta (\triangle AFC) dobiva se

$$d(A,F)=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \text{cm},$$

a iz pravokutnog trokuta (\triangle CFE)

$$d(F,E)=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \text{cm}.$$

Kako je (d(A,F)+d(F,E)=d(A,E)=d(A,B)+d(B,E)=a+c=5+9=14\ \text{cm}), površina trapeza je

$$P=\frac{a+c}{2}\cdot v=84\ \text{cm}^2.$$

Drugi način:

Skica:

Zadana se jednadžba može zapisati u obliku

$$d^2-30d+v^2-24v+369=0$$

odnosno nadopunom na potpuni kvadrat

$$(d-15)^2-225+(v-12)^2-144+369=0$$

i konačno

$$(d-15)^2+(v-12)^2=0.$$

Lijeva strana jednadžbe jednaka je 0 ako je (d-15=0) i (v-12=0).

Iz (d-15=0) slijedi da je (d=15\ \text{cm}), a

iz (v-12=0) slijedi da je (v=12\ \text{cm}).

Neka su (E) i (F) nožišta visina iz vrhova (D) i (C) redom na osnovicu (\overline{AB}).

Nadalje, neka je (|AE|=x) i (|BF|=y), a (|CD|=c), (|AB|=a).

Kako je četverokut (EFCD) pravokutnik, slijedi (|EF|=c).

Primjenom Pitagorinog poučka na trokute (\triangle DEB) i (\triangle AFC) dobije se

$$|BE|=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \text{cm}$$

i

$$|AF|=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \text{cm}.$$

Slijedi (|BE|=c+y=9), (|AF|=x+c=5).

Zbrajanjem tih dviju jednakosti dobije se (x+y+2c=14) odnosno (x+c+y+c=14), tj.

$$a+c=14.$$

Površina trapeza je

$$P=\frac{a+c}{2}\cdot v=84\ \text{cm}^2.$$