4. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Zadana se jednadžba može zapisati u obliku

$$d^2-30d+v^2-24v+369=0$$

odnosno nadopunom na potpuni kvadrat

$$(d-15)^2-225+(v-12)^2-144+369=0$$

i konačno

$$(d-15)^2+(v-12)^2=0.$$

Lijeva strana jednadžbe jednaka je 0 ako je $d-15=0$ i $v-12=0$.

Iz $d-15=0$ slijedi da je $d=15\ \text{cm}$, a

iz $v-12=0$ slijedi da je $v=12\ \text{cm}$.

Na produžetku stranice $\overline{AB}$ preko vrha $B$ odaberimo točku $E$ tako da je $d(B,E)=d(C,D)$.

Tada je $d(A,E)=a+c$.

Četverokut $BECD$ je paralelogram pa je $d(C,E)=d=15\ \text{cm}$.

Iz pravokutnog trokuta $\triangle AFC$ dobiva se

$$d(A,F)=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \text{cm},$$

a iz pravokutnog trokuta $\triangle CFE$

$$d(F,E)=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \text{cm}.$$

Kako je $d(A,F)+d(F,E)=d(A,E)=d(A,B)+d(B,E)=a+c=5+9=14\ \text{cm}$, površina trapeza je

$$P=\frac{a+c}{2}\cdot v=84\ \text{cm}^2.$$

Drugi način:

Skica:

Zadana se jednadžba može zapisati u obliku

$$d^2-30d+v^2-24v+369=0$$

odnosno nadopunom na potpuni kvadrat

$$(d-15)^2-225+(v-12)^2-144+369=0$$

i konačno

$$(d-15)^2+(v-12)^2=0.$$

Lijeva strana jednadžbe jednaka je 0 ako je $d-15=0$ i $v-12=0$.

Iz $d-15=0$ slijedi da je $d=15\ \text{cm}$, a

iz $v-12=0$ slijedi da je $v=12\ \text{cm}$.

Neka su $E$ i $F$ nožišta visina iz vrhova $D$ i $C$ redom na osnovicu $\overline{AB}$.

Nadalje, neka je $|AE|=x$ i $|BF|=y$, a $|CD|=c$, $|AB|=a$.

Kako je četverokut $EFCD$ pravokutnik, slijedi $|EF|=c$.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokute $\triangle DEB$ i $\triangle AFC$ dobije se

$$|BE|=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \text{cm}$$

i

$$|AF|=\sqrt{13^2-12^2}=5\ \text{cm}.$$

Slijedi $|BE|=c+y=9$, $|AF|=x+c=5$.

Zbrajanjem tih dviju jednakosti dobije se $x+y+2c=14$ odnosno $x+c+y+c=14$, tj.

$$a+c=14.$$

Površina trapeza je

$$P=\frac{a+c}{2}\cdot v=84\ \text{cm}^2.$$