3. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Spojimo li središta vanjskih 6 krugova, dobit ćemo pravilni šesterokut stranice $a=2r$.

Površina tog šesterokuta jednaka je šesterostrukoj površini jednakostraničnog trokuta stranice $a=2r$ odnosno

$$P_{\text{šesterokuta}}=6\cdot P_{\Delta}=6\cdot\frac{(2r)^2\sqrt{3}}{4}=6r^2\sqrt{3}.$$

Preostala površina sastoji se od šest jednakih kružnih isječaka s pripadnim središnjim kutom $240^\circ$.

Svaki od njih ima površinu jednaku $\frac{2}{3}$ površine cijelog kruga. Dakle,

$$P_1=\frac{2}{3}\cdot r^2\pi.$$

Prema tome, osjenčani lik ima površinu

$$P=P_{\text{šesterokuta}}+6P_1=6r^2\sqrt{3}+6\cdot\frac{2}{3}\cdot r^2\pi=6r^2\sqrt{3}+4r^2\pi.$$

Drugi način:

Skica:

Lik se sastoji od 7 jednakih krugova površine $P_{\text{kruga}}=r^2\pi$ i šest jednakih (nepravilnih) dijelova površine $P_1$ (vidi sliku).

Površina nepravilnog lika $P_1$ može se izračunati kao površina jednakostraničnog trokuta stranice $2r$ umanjena za površinu tri jednaka kružna isječka središnjeg kuta $60^\circ$, točnije, za tri šestine površine kruga polumjera $r$.

Površina jednakostraničnog trokuta je

$$P_{\Delta}=\frac{(2r)^2\sqrt{3}}{4}=r^2\sqrt{3}.$$

Dakle,

$$P_1=P_{\Delta}-\frac{1}{2}P_{\text{kruga}}=r^2\sqrt{3}-\frac{r^2\pi}{2}.$$

Prema tome, osjenčani lik ima površinu

$$P=7P_{\text{kruga}}+6P_1=7r^2\pi+6\cdot\left(r^2\sqrt{3}-\frac{r^2\pi}{2}\right)=7r^2\pi+6r^2\sqrt{3}-3r^2\pi=6r^2\sqrt{3}+4r^2\pi.$$