4. Zadatak

Iz zadana prva tri člana niza možemo zaključiti da svaki idući lik ima točno tri pravilna šesterokuta više. Također, Opseg svakog idućeg lika veći je za duljinu dodanih stranica. Svakim novim pravilnim šesterokutom dodajemo po $4$ nove stranice.

Broj pravilnih šesterokuta unutar jednog lika i opseg likova u nizu dani su u tablici:

Redni broj lika u nizu $n$	Broj pravilnih šesterokuta u liku $k$	Opseg lika $o$
$1$	$1=1+3\cdot0$	$6a=1\cdot6a$
$2$	$4=1+3\cdot1$	$6a+3\cdot4a=18a=3\cdot6a$
$3$	$7=1+3\cdot2$	$6a+6\cdot4a=30a=5\cdot6a$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
$n$	$1+3\cdot(n-1)=3n-2$	$(2n-1)\cdot6a$

a) Ako bi bio lik u nizu izgrađen od $2021$ šesterokuta, onda bi vrijedilo:

$$3n-2=2021$$ $$\Longrightarrow\quad3n=2023$$ $$\Longrightarrow\quad n=\frac{2023}{3}$$

Kako broj $2023$ nije djeljiv brojem $3$, broj $n$ nije prirodan broj pa takav lik ne postoji.

b) Opseg šesterokuta je $o_6=6a=30\ \mathrm{cm}$, pa je opseg $2021.$ lika u nizu:

$$o_n=(2n-1)\cdot6a$$ $$o_{2021}=(2\cdot2021-1)\cdot30$$ $$o_{2021}=121230\ \mathrm{cm}$$