6. Zadatak

Prvi način:

Neka je $a$ duljina stranice kvadrata $ABCD$.

Kako je točka $E$ polovište stranice $\overline{AB}$, slijedi $|AE|=\frac{a}{2}$.

U pravokutnom trokutu $AEF$ je $\angle FAE=45^\circ$, pa je trokut $AEF$ i jednakokračan.

Neka je $|AF|=|FE|=x$.

U trokutu $AEF$ primjenom Pitagorinog poučka slijedi da je

$$x=\frac{a\sqrt{2}}{4}.$$

Duljina dijagonale kvadrata $ABCD$ je $a\sqrt{2}$, tj. $|AC|=a\sqrt{2}$.

Nadalje je

$$|CF|=a\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{3}{4}a\sqrt{2}.$$

Površina pravokutnog trokuta $ECF$ je

$$P_{ECF}=\frac{\frac{3}{4}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}}{2}=\frac{3}{8}\cdot\frac{a^2}{2}=\frac{3}{16}a^2.$$

Površina kvadrata $ABCD$ je $a^2$.

Omjer površina trokuta $ECF$ i kvadrata $ABCD$ je $3:16$.

Drugi način:

Neka je duljina dužine $\overline{AE}$ jednaka $x$.

Kutovi $\angle FAE$ i $\angle AEF$ iznose $45^\circ$.

Trokut $AEF$ je jednakokračan i pravokutan.

Trokut $ABC$ je jednakokračan i pravokutan.

Trokuti $AEF$ i $ABC$ su slični.

Duljine stranica $\overline{AE}$ i $\overline{AC}$ su u omjeru

$$\frac{x}{2x\sqrt{2}}=\frac{x}{2x\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Koeficijent sličnosti trokuta $AEF$ i $ABC$ je $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Omjer površina trokuta $AEF$ i $ABC$ je kvadrat koeficijenta sličnosti tih trokuta, tj.

$$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}.$$

Površina trokuta $ECF$ jednaka je površini trokuta $AEC$ umanjenoj za površinu trokuta $AEF$.

Kako je $|AE|=\frac{1}{2}|AB|$, površina trokuta $AEC$ je jednaka polovini površine trokuta $ABC$.

$$P_{ECF}=P_{AEC}-P_{AEF}=\frac{1}{2}P_{ABC}-\frac{1}{8}P_{ABC}=\frac{3}{8}P_{ABC}=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}P_{ABCD}=\frac{3}{16}P_{ABCD}.$$

Omjer površina trokuta $ECF$ i kvadrata $ABCD$ iznosi $P_{ECF}:P_{ABCD}=3:16$.

Treći način:

Neka je duljina stranice kvadrata $ABCD$ jednaka $2x$.

Kako je točka $E$ polovište stranice $\overline{AB}$, vrijedi $|AE|=x$.

U pravokutnom trokutu $AEF$ je $\angle FAE=45^\circ$, pa je trokut $AEF$ i jednakokračan.

Trokut $AEF$ je polovina kvadrata kojem je duljina dijagonale jednaka $x$, pa je

$$P_{AEF}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^2}{4}.$$

Trokut $AEC$ je trokut stranice duljine $x$ i pripadne visine duljine $2x$ pa je njegova površina jednaka

$$P_{AEC}=\frac{x\cdot2x}{2}=x^2.$$

Slijedi da je

$$P_{ECF}=P_{AEC}-P_{AEF}=x^2-\frac{x^2}{4}=\frac{3}{4}x^2.$$

Površina kvadrata $ABCD$ jednaka je $P_{ABCD}=(2x)^2=4x^2$.

Omjer površina trokuta $ECF$ i kvadrata $ABCD$ iznosi

$$P_{ECF}:P_{ABCD}=\frac{3}{4}x^2:4x^2=\frac{3}{4}:4=3:16.$$

Četvrti način:

Neka je $a$ duljina stranice kvadrata $ABCD$.

Neka je duljina dužine $\overline{AE}$ jednaka $x$. Tada je $x=\frac{a}{2}$.

Kako je $|AE|=\frac{1}{2}|AB|$, vrijedi

$$P_{AEC}=\frac{1}{2}P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}.$$

Označimo s $G$ točku simetričnu točki $E$ s obzirom na pravac $AC$.

Tada je $AEG$ jednakokračan pravokutan trokut, pa je

$$P_{AEG}=\frac{x^2}{2}=\frac{a^2}{8}.$$

Kako su trokuti $AEF$ i $AFG$ sukladni, slijedi

$$P_{AEF}=\frac{1}{2}P_{AEG}=\frac{a^2}{16}.$$

Sada je

$$P_{ECF}=P_{AEC}-P_{AEF}=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{16}=\frac{3a^2}{16}.$$

Slijedi da je omjer traženih površina jednak

$$P_{ECF}:P_{ABCD}=\frac{3a^2}{16}:a^2=3:16.$$