5. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Veličina jednog unutarnjeg kuta pravilnog 100-terokuta iznosi

$$\alpha_{100}=\frac{(100-2)\cdot180^\circ}{100}=176.4^\circ$$

Trokut $\triangle A_{100}A_1A_2$ je jednakokračan. Njemu je kut $\alpha_{100}$ kut nasuprot osnovice.

Kutovi uz osnovicu su jednake veličine $\beta$ i vrijedi $2\beta=180^\circ-\alpha_{100}$.

Slijedi da je $\beta=1.8^\circ$.

Analogno je, zbog jednakokračnosti trokuta $\triangle A_3A_1A_2$, kut $\angle A_3A_1A_2=1.8^\circ$.

Kut $\angle A_2SA_3$ je vanjski kut trokuta $\triangle A_1A_2S$, pa vrijedi da je on jednak zbroju dvaju unutarnjih nesusjednih kutova, tj.

$$\angle A_2SA_3=\angle SA_1A_2+\angle A_1A_2S=1.8^\circ+1.8^\circ=3.6^\circ.$$

Drugi način:

Skica:

Pravilnom mnogokutu može se upisati i opisati kružnica.

Označimo s $O$ središte pravilnom 100-terokutu opisane (i upisane) kružnice.

Tada je trokut $A_1A_2O$ karakteristični trokut pravilnog 100-terokutu, a veličina kuta $\angle A_2OA_1$ iznosi

$$\angle A_2OA_1=\frac{360^\circ}{100}=3.6^\circ.$$

Kako je $|A_1A_2|=|A_2A_3|$ (stranice pravilnog 100-terokuta) i $|A_1O|=|A_3O|$ (polumjer opisane kružnice), slijedi da je četverokut $A_1A_2A_3O$ deltoid.

Slično se pokaže da je i četverokut $A_{100}A_1A_2O$ deltoid.

Deltoid je četverokut s okomitim dijagonalama, pa vrijedi:

$$\overline{A_1A_3}\perp\overline{A_2O}\quad\text{i}\quad\overline{A_{100}A_2}\perp\overline{A_1O}.$$

Prema tome, kutovi $\angle A_2SA_3$ i $\angle A_2OA_1$ su kutovi s okomitim kracima i vrijedi:

$$\angle A_2SA_3=\angle A_2OA_1=3.6^\circ.$$