1. Zadatak

Prvo rješenje.

Četverokut $CDEF$ je kvadrat, pa je $CD\parallel FE$ i $CF\parallel DE$.

Stoga je $|\angle FBE|=|\angle DEA|$ i $|\angle BEF|=|\angle EAD|$ prema poučku o kutovima uz presječnicu.

Dakle, trokuti $AED$ i $EBF$ su slični.

Označimo $|CD|=a$, $|EA|=x$, $|BE|=3x$, $|DA|=y$ i $|BF|=z$.

Iz sličnosti trokuta $AED$ i $EBF$ slijedi $a:y=3x:x$, odnosno $a=3y$, te također $z:a=3x:x$, odnosno $z=3a$.

Površina trokuta $ABC$ je $P_{ABC}=\frac{|CA|\cdot|CB|}{2}$, a površina kvadrata $CDEF$ je $P_{CDEF}=a^2$.

Iz $a=3y$ slijedi $|CA|=a+y=a+\frac{a}{3}=\frac{4a}{3}$.

Iz $z=3a$ slijedi $|CB|=a+z=a+3a=4a$.

Tada je

$$P_{ABC}=\frac{|CA|\cdot|CB|}{2}=\frac{\frac{4a}{3}\cdot4a}{2}=\frac{8a^2}{3},$$

iz čega slijedi $P_{ABC}:P_{CDEF}=\frac{8a^2}{3}:a^2=\frac{8}{3}$,

tj. površina trokuta $ABC$ je $\frac{8}{3}$ puta veća od površine kvadrata $CDEF$.

Drugo rješenje.

Četverokut $CDEF$ je kvadrat, pa je $CD\parallel FE$ i $CF\parallel DE$.

Stoga je $|\angle CBA|=|\angle DEA|$ i $|\angle BEF|=|\angle BAC|$, prema poučku o kutovima uz presječnicu.

Dakle, trokuti $ABC$, $AED$ i $EBF$ su međusobno slični pravokutni trokuti s hipotenuzama $BA$, $EA$ i $BE$.

Kako je $|BE|=3\cdot|EA|$, trokut $EBF$ je sličan trokutu $AED$ s koeficijentom sličnosti $3$, pa za njihove površine vrijedi

$$P_{EBF}=3^2\cdot P_{AED}=9P_{AED}.$$

Također je $|BA|=4\cdot|EA|$, pa je trokut $ABC$ sličan trokutu $AED$ s koeficijentom sličnosti $4$ i za njihove površine vrijedi

$$P_{ABC}=4^2\cdot P_{AED}=16P_{AED}.$$

Nadalje, vrijedi

$$P_{CDEF}=P_{ABC}-(P_{EBF}+P_{AED})=16P_{AED}-(9P_{AED}+P_{AED})=16P_{AED}-10P_{AED}=6P_{AED},$$

iz čega slijedi

$$\frac{P_{ABC}}{P_{CDEF}}=\frac{16P_{AED}}{6P_{AED}}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3},$$

tj. površina trokuta $ABC$ je $\frac{8}{3}$ puta veća od površine kvadrata $CDEF$.