3. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbroj mjera svih unutarnjih kutova konveksnoga $n$-terokuta je $(n-2)\cdot180^\circ$.

Za $n=9$ taj je zbroj $(9-2)\cdot180^\circ=7\cdot180^\circ=1260^\circ$.

U pravilnome deveterokutu su svi unutarnji kutovi sukladni, pa je mjera unutarnjeg kuta $1260^\circ:9=140^\circ$.

Svaki pravilni poligon je osnosimetričan obzirom na simetralu bilo kojeg svog unutarnjeg kuta kao i obzirom na simetralu bilo koje svoje stranice. Stoga je pravilni deveterokut na slici osnosimetričan obzirom na simetralu $s$ kuta $\angle DCB$.

Na slici uočimo četverokut $ABDE$. Dužina $\overline{DB}$ najkraća je, a stranica $\overline{EA}$ najdulja dijagonala pravilnoga deveterokuta. Taj četverokut je također osnosimetričan obzirom na simetralu $s$ kuta $\angle DCB$, pa su mu stranice $\overline{DB}$ i $\overline{EA}$ okomite na nju. Vrijedi $DB\parallel EA$, pa je četverokut $ABDE$ trapez, a kako su mu neparalelne stranice $\overline{AB}$ i $\overline{DE}$ sukladne, to je jednakokračan trapez.

Promotrimo jednakokračan trokut $BCD$. Kako je $|\angle DCB|=140^\circ$, vrijedi

$$|\angle CBD|=|\angle BDC|=\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ.$$

Nadalje je

$$\begin{aligned} |\angle EDB|&=|\angle DBA|=140^\circ-20^\circ=120^\circ,\\ |\angle AED|&=|\angle BAE|=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \end{aligned}$$

Odaberimo na stranici $\overline{EA}$ točku $T$ tako da je $TB\parallel ED$.

Četverokut $BDET$ je paralelogram, pa vrijedi $|ET|=|DB|$.

Onda je $|\angle ATB|=|\angle AED|=60^\circ$, pa je trokut $ABT$ jednakostraničan.

Dakle, $|TA|=|AB|$, pa je razlika duljina najdulje i najkraće dijagonale

$$|EA|-|DB|=|EA|-|ET|=|TA|=|AB|.$$

Drugo rješenje.

Promotrimo četverokut $ABCE$.

Duljina najkraće dijagonale deveterokuta je $|AC|=|CE|$, a duljina najdulje dijagonale je $|AE|$.

Unutrašnji kut pravilnog deveterokuta iznosi $140^\circ$, pa kutovi u jednakokračnom trokutu $ABC$ iznose $140^\circ$, $20^\circ$ i $20^\circ$.

Uočimo da je $|\angle CEB|=|\angle CAB|=20^\circ=|\angle BCA|=|\angle BEA|$.

Neka je točka $T$ na dužini $\overline{AE}$ takva da je $|CE|=|TE|$.

Po S-K-S poučku vrijedi da su trokuti $BCE$ i $BTE$ sukladni. Slijedi da je $|BT|=|BC|=|BA|$.

Vrijedi

$$|\angle CAE|=|\angle AEC|=|\angle AEB|+|\angle BEC|=20^\circ+20^\circ=40^\circ,$$

pa je

$$|\angle BAT|=|\angle BAE|=|\angle BAC|+|\angle CAE|=20^\circ+40^\circ=60^\circ.$$

Dakle, trokut $ABT$ je jednakokračan trokut kojem je mjera jednog kuta $60^\circ$, pa zaključujemo da je jednakostraničan. Slijedi $|AE|-|CE|=|AE|-|ET|=|AT|=|AB|$.