4. Zadatak

Prvo rješenje.

Promatrani izraz mora biti cijeli broj jer zbrajamo i oduzimamo prirodne brojeve. Zadatak se može reformulirati na sljedeći način. Prirodnim brojevima od $1$ do $2025$ treba pridružiti predznake $+$ ili $-$ tako da točno $1012$ brojeva ima predznak $-$, a potom dobivene brojeve s predznakom treba zbrojiti. Potrebno je odrediti koliko različitih zbrojeva možemo dobiti.

Pridruživanje predznaka se može prikazati tablicom kojoj su u prvom retku svi prirodni brojevi od $1$ do $2025$, a u drugom retku pridruženi predznaci.

Uočimo da se najveća vrijednost dobiva ako brojevima od $1013$ do $2025$ pridružimo predznak $+$, a ostalima predznak $-$:

$1$	$\ldots$	$1012$	$1013$	$\ldots$	$2025$
$-$	$\ldots$	$-$	$+$	$\ldots$	$+$

Dakle, vrijedi

$$\begin{aligned} a_1-a_2+a_3-\cdots+a_{2025} &\leq(1013+1014+\cdots+2025)-(1+2+3+\cdots+1012)\\ &=(1013-1+1014-2+\cdots+2024-1012)+2025\\ &=1012^2+2025=1\,026\,169. \end{aligned}$$

Najmanju vrijednost se dobiva ako brojevima od $1014$ do $2025$ pridružimo predznak $-$, a ostalima predznak $+$:

$1$	$\ldots$	$1013$	$1014$	$\ldots$	$2025$
$+$	$\ldots$	$+$	$-$	$\ldots$	$-$

Iz toga zaključujemo

$$\begin{aligned} a_1-a_2+a_3-\cdots+a_{2025} &\geq(1+2+3+\cdots+1013)-(1014+1015+\cdots+2025)\\ &=1013-(1014-1+1015-2+\cdots+2025-1012)\\ &=1013-1012\cdot1013=-1011\cdot1013=-1\,024\,143. \end{aligned}$$

Nejednakosti pokazuju da nije moguće postići cijele brojeve koji su manji od $-1\,024\,143$ i veći od $1\,026\,169$.

Uočimo da ako zamijenimo predznak $-$ ispod broja $k$ i predznak $+$ ispod broja $k+1$ vrijednost se izraza smanjuje za $2$.

Promotrimo postupak kojim od prve tablice dobivamo drugu tablicu nizom zamjena predznaka u susjednim poljima drugog retka. Predznak $-$ ispod broja $1012$ prvo zamijenimo s predznakom $+$ ispod broja $1013$, pa nakon toga s predznakom $+$ ispod broja $1014$, pa sve dok ne dođemo do zamjene s predznakom $+$ ispod broja $2025$ i dobijemo tablicu

$1$	$\ldots$	$1011$	$1012$	$1013$	$\ldots$	$2025$
$-$	$\ldots$	$-$	$+$	$\ldots$	$+$	$-$

Na sličan način, nizom zamjena možemo predznak $-$ ispod $1011$ dovesti do polja ispod broja $2024$, predznak $-$ ispod $1010$ dovesti ispod $2023$ i tako dalje sve do predznaka $-$ ispod $1$ kojeg dovedemo ispod $1014$.

Ovime smo pokazali da možemo postići svaku drugu vrijednost (tj. svaki neparan broj) između $-1\,024\,143$ i $1\,026\,169$.

Pokažimo još da zadani izraz $a_1-a_2+a_3-\cdots+a_{2025}$ ne može biti paran. Zaista, kako su zbroj i razlika parnih brojeva parni brojevi, a među brojevima $1,2,3,\ldots,2024,2025$ ima neparno mnogo neparnih brojeva, zaključujemo da je $a_1-a_2+a_3-\cdots+a_{2025}$ uvijek neparan broj.

Dakle, izraz $a_1-a_2+a_3-\cdots+a_{2025}$ može poprimiti vrijednost svakog neparnog broja većeg ili jednakog $-1\,024\,143$ i manjeg ili jednakog $1\,026\,169$ te ne može poprimiti nijednu drugu vrijednost.

Napomena: Redoslijed zamjena kojima mijenjamo poredak predznaka $-$ i $+$ nije bitan dok god mijenjamo mjesta predznacima u susjednim poljima. Zbog toga je dovoljno uočiti da u svakom pridruživanju predznaka koja ne daje najmanju moguću vrijednost postoji neki par susjednih polja u drugom retku tako da je predznak $-$ lijevo od predznaka $+$ (kad to ne bi bilo tako svi predznaci $+$ bi bili lijevo od predznaka $-$).

Drugo rješenje.

Promatrani izraz mora biti cijeli broj jer zbrajamo i oduzimamo prirodne brojeve.

Uočimo da vrijedi

$$\begin{aligned} a_1-a_2+a_3-\cdots+a_{2025} &=(1+2+\cdots+2025)-2\cdot(a_2+a_4+\cdots+a_{2024})\\ &=2025\cdot1013-2\cdot(a_2+a_4+\cdots+a_{2024}). \end{aligned}$$

Broj koji smo dobili je razlika neparnog i parnog broja, pa je neparan broj. Time smo pokazali da promatrani izraz ne može biti paran broj.

Označimo $S=\{1,2,\ldots,2025\}$. Iz gornjeg zapisa zaključujemo da vrijednost promatranog izraza ovisi o odabiru podskupa $N=\{a_2,a_4,\ldots,a_{2024}\}$ skupa $S$, točnije o zbroju elemenata koji su odabrani u $N$.

Promatrani izraz ima najveću vrijednost ako u $N$ izaberemo najmanjih $1012$ brojeva iz skupa $S$, a najmanju vrijednost ako u $N$ izaberemo najvećih $1012$ brojeva iz skupa $S$. Te vrijednosti iznose redom $1\,026\,169$ i $-1\,024\,143$.

Nadalje, ako u podskupu $N$ nisu odabrani svi najmanji brojevi iz skupa $S$, onda postoji neki broj $k\in S\setminus N$ takav da je $k+1\in N$. Izbacimo li broj $k+1$ iz $N$, a dodamo broj $k$ u $N$ vrijednost promatranog izraza se povećava za $2$. Ponavljanjem tog postupka od najmanje vrijednosti možemo redom postići sve neparne brojeve $-1\,024\,143$, $-1\,024\,141$, $-1\,024\,139$, $\ldots$, $1\,026\,169$.