5. Zadatak
Učiteljica je donijela u školu kutiju s bombonima. Ako svakoj djevojčici u razredu da po bombona, a svakome dječaku po bombona, učiteljici će ostati bombona. Ako djevojčicama da po bombona, a dječacima po bombona, ostat će joj bombona. U razredu su djeteta. Koliko je bombona u kutiji?
Rješenje
Prvo rješenje.
Jedan bombon označimo s ●.
Neka crveni pravokutnik (■) prikazuje broj bombona koje bismo podijelili kada bi svaka djevojčica dobila jedan bombon. Ako učiteljica svakoj djevojčici daje po bombona onda taj broj prikazujemo s tri crvena pravokutnika.
Neka bijeli pravokutnik (□) prikazuje broj bombona koje bismo podijelili kada bi svaki dječak dobio jedan bombon. Ako učiteljica svakom dječaku daje po bombona onda taj broj prikazujemo s dva bijela pravokutnika.
Ukupan broj bombona možemo prikazati na sljedeća dva načina.
Prikaz prve raspodjele bombona:
Prikaz druge raspodjele bombona:
Budući da u obje raspodjele imamo isti ukupan broj bombona, prikaze možemo staviti na različite strane vage tako da vaga bude u ravnoteži.
Ako iz oba prikaza uklonimo po dva crvena pravokutnika, jedan bijeli pravokutnik i šest bombona, vaga će i dalje biti u ravnoteži, odnosno dobit ćemo prikaze koji prikazuju isti broj bombona.
Na prvom prikazu ostaje jedan crveni pravokutnik, jedan bijeli pravokutnik i jedan bombon, a na drugom prikazu ostaju tri bijela pravokutnika.
Crveni i bijeli pravokutnik odgovaraju broju bombona koje bismo podijelili kada bi svaki učenik (djevojčica ili dječak) dobili po jedan bombon. Taj broj je jednak ukupnom broju učenika u razredu, što iznosi .
Stoga, jedan bombon, crveni i bijeli pravokutnik zajedno prikazuju bombona, pa zaključujemo da i tri bijela pravokutnika prikazuju bombona.
Jedan bijeli pravokutnik prikazuje bombona, pa zaključujemo da je broj dječaka (jer bijeli pravokutnik prikazuje broj bombona ako svaki dječak dobije jedan bombon). Broj djevojčica je .
Ukupan broj bombona u kutiji je .
Drugo rješenje.
Ako bi u razredu bile samo djevojčice, onda bi prema prvoj raspodjeli bilo bombona, a prema drugoj raspodjeli bombona.
Ako bi u razredu bile djevojčice i dječak, onda bi prema prvoj raspodjeli bilo bombona, a prema drugoj raspodjeli bombona.
Smanjimo li broj djevojčica za te povećamo broj dječaka za , broj bombona u prvoj raspodjeli će se smanjiti za bombon, a u drugoj raspodjeli povećati za bombona.
Dakle, smanjimo li broj djevojčica za , razlika između broja bombona u prvoj i drugoj raspodjeli se smanjuje za bombona.
Kada nema dječaka ta razlika iznosi .
Taj broj trebamo podijeliti sa kako bismo dobili broj dječaka.
Stoga bi broj dječaka trebalo povećati za . Tada će biti djevojčica.
Ukupan broj bombona u kutiji je .
Treće rješenje.
U zadatku su opisana dva načina raspodjele bombona. U prvoj raspodjeli (kada učiteljici ostane bombona) dječaci dobivaju po bombona, koliko i djevojčice u drugoj raspodjeli (kada učiteljici ostane bombona). Djevojčice u prvoj raspodjeli dobivaju manji broj bombona nego dječaci u drugoj raspodjeli. U drugoj raspodjeli ostaje samo bombon manje nego u prvoj raspodjeli, što je manje od broja bombona koji dobiva jedna osoba, pa možemo zaključiti da broj djevojčica mora biti veći od broja dječaka.
Promotrimo mogućnosti za broj djevojčica i dječaka u razredu i broj bombona koji dobivamo prema pojedinoj raspodjeli.
| Broj djevojčica | Broj dječaka | Prva raspodjela | Druga raspodjela |
|---|---|---|---|
Nastavimo li povećavati broj djevojčica, ukupan broj bombona prema prvoj raspodjeli biti veći od . Nastavimo li povećavati broj djevojčica ukupan broj bombona prema drugoj raspodjeli bit će manji od . Dakle, nema drugih rješenja.
Jedino moguće rješenje je da ima djevojčica, dječaka i bombona.
Četvrto rješenje.
U zadatku su opisana dva načina raspodjele bombona. Prva raspodjela: Ako svakoj djevojčici u razredu da po bombona, a svakom dječaku po bombona, učiteljici će ostati bombona. Druga raspodjela: Ako djevojčicama da po bombona, a dječacima po bombona, ostat će joj bombona.
Promotrimo na koji način bi učiteljica od prve raspodjele mogla napraviti drugu raspodjelu. Kako bi postigla drugu raspodjelu iz prve, učiteljica bi svakoj djevojčici i sebi trebala oduzeti po bombon, a svakom dječaku dati još po bombona. Tada svaka djevojčica i učiteljica dobiju dvostruko manje bombona od svakog dječaka. Zato je broj dječaka dvostruko manji od broja djevojčica s učiteljicom.
Kako je broj djevojčica zajedno s učiteljicom jednak dvostrukom broju dječaka, ukupan broj osoba je jednak trostrukom broju dječaka.
Ukupno imamo djeteta te s učiteljicom imamo osobe.
Taj broj treba podijeliti s da bismo dobili broj dječaka.
Stoga je broj dječaka . Broj djevojčica je .
Ukupan broj bombona u kutiji je .