7. Zadatak

Prvi način:

a) Da bi broj bio palindrom i istovremeno djeljiv s $5$, zadnja znamenka može biti samo $5$ (ne može biti $0$ jer vodeća znamenka ne može biti $0$) i tada je i prva znamenka slijeva jednaka $5$.

Drugu znamenku možemo birati na $10$ načina, a jednako tako i treću. Tada je (jer je broj palindrom) četvrta znamenka određena jednoznačno.

Zato je ukupan broj takvih brojeva jednak $10 \cdot 10 = 100$.

b) Prva znamenka slijeva ne smije biti $0$; biramo prve dvije znamenke na $9 \cdot 10 = 90$ načina i potom su zadnje dvije znamenke određene jednoznačno.

Srednju znamenku sada biramo tako da broj bude djeljiv s $3$, tj. da zbroj svih znamenki bude djeljiv s $3$.

Za mogućih $90$ izbora prve dvije znamenke vrijedi da je točno $30$ djeljivo s $3$, točno $30$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$ i točno $30$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$ pa to isto vrijedi i za zbroj njihovih znamenki.

Zato je:

(i) u $30$ slučajeva zbroj svih znamenki, osim srednje, je djeljiv s $3$,

(ii) u $30$ slučajeva zbroj svih znamenki, osim srednje, daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$,

(iii) u $30$ slučajeva zbroj svih znamenki, osim srednje, daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$.

Da bi u slučaju (i) broj bio djeljiv s $3$, srednja znamenka mora biti djeljiva s $3$, tj. mora biti jednaka $0$, $3$, $6$ ili $9$, pa je takvih brojeva $30 \cdot 4 = 120$.

Da bi u slučaju (ii) broj bio djeljiv s $3$, srednja znamenka mora dati ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$, tj. mora biti jednaka $2$, $5$ ili $8$, pa je takvih brojeva $30 \cdot 3 = 90$.

Da bi u slučaju (iii) broj bio djeljiv s $3$, srednja znamenka mora dati ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$, tj. mora biti jednaka $1$, $4$ ili $7$, pa je takvih brojeva $30 \cdot 3 = 90$.

Zato je ukupni broj takvih brojeva jednak

$$30 \cdot 4 + 30 \cdot 3 + 30 \cdot 3 = 300.$$

Drugi način:

a) (isto kao na prvi način)

b) Palindrom možemo zapisati u obliku $\overline{abcba}$, $a,b,c \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ i $a \ne 0$.

Taj broj je djeljiv s $3$ ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s $3$ pa vrijedi:

$$a + b + c + b + a = 3k$$ $$2a + 2b + c = 3k, \quad k \in \mathbb{N}.$$

$a = 1$	$b = 0$	$2a + 2b + c = 2 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 1$	$2a + 2b + c = 4 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 2$	$2a + 2b + c = 6 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 3$	$2a + 2b + c = 8 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 4$	$2a + 2b + c = 10 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 5$	$2a + 2b + c = 12 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 6$	$2a + 2b + c = 14 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 7$	$2a + 2b + c = 16 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 8$	$2a + 2b + c = 18 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 9$	$2a + 2b + c = 20 + c$	$c = 1, 4, 7$
$a = 2$	$b = 0$	$2a + 2b + c = 4 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 1$	$2a + 2b + c = 6 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 2$	$2a + 2b + c = 8 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 3$	$2a + 2b + c = 10 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 4$	$2a + 2b + c = 12 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 5$	$2a + 2b + c = 14 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 6$	$2a + 2b + c = 16 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 7$	$2a + 2b + c = 18 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 8$	$2a + 2b + c = 20 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 9$	$2a + 2b + c = 22 + c$	$c = 2, 5, 8$
$a = 3$	$b = 0$	$2a + 2b + c = 6 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 1$	$2a + 2b + c = 8 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 2$	$2a + 2b + c = 10 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 3$	$2a + 2b + c = 12 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 4$	$2a + 2b + c = 14 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 5$	$2a + 2b + c = 16 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 6$	$2a + 2b + c = 18 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$
	$b = 7$	$2a + 2b + c = 20 + c$	$c = 1, 4, 7$
	$b = 8$	$2a + 2b + c = 22 + c$	$c = 2, 5, 8$
	$b = 9$	$2a + 2b + c = 24 + c$	$c = 0, 3, 6, 9$

Ukupno ima $7 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 21 + 12 = 33$ takva broja.

Ukupno ima $7 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 21 + 12 = 33$ takva broja.

Ukupno ima $6 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 18 + 16 = 34$ takva broja.

Analogno, za $a=4,5,7,8$ ima po $33$ takva broja, a za $a=6,9$ ima po $34$ takva broja.

Ukupno ima:

$$6 \cdot 33 + 3 \cdot 34 = 198 + 102 = 300$$

takvih brojeva.