5. Zadatak

Prvi način:

Odredimo zbroj oduzimanjem parnih pribrojnika od ukupnog zbroja niza uzastopnih prirodnih brojeva od $1$ do $k$.

$$1 + 2 + 3 + \ldots + k - (2 + 4 + 6 + \ldots + (k - 1)) = 40\ 000$$ $$\frac{k \cdot (k - 1)}{2} - 2 \cdot \left(1 + 2 + 3 + \ldots + \frac{k - 1}{2}\right) = 40\ 000$$ $$\frac{k \cdot (k - 1)}{2} - 2 \cdot \frac{\frac{k - 1}{2} \cdot \left(\frac{k - 1}{2} + 1\right)}{2} = 40\ 000,$$

što je ekvivalentno kvadratnoj jednadžbi

$$k^2 + 2k + 1 = 160\ 000$$ $$(k + 1)^2 = 160\ 000.$$

Mogućnost $k + 1 = -400$, tj. $k = -401$ otpada jer je $k$ prirodan broj.

$$k + 1 = 400$$ $$k = 399$$

Budući je $k$ prirodan broj, najveći pribrojnik u zbroju je $399$.

Drugi način:

Zapišimo zbroj prvih $n$ neparnih prirodnih brojeva na sljedeći način:

$$1 + 3 + 5 + \ldots + 2n - 1 = (1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + 2n - 1) - (2 + 4 + 6 + \ldots + 2n - 2)$$ $$= \frac{(2n - 1) \cdot 2n}{2} - 2 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1)$$ $$= (2n - 1) \cdot n - 2 \cdot \frac{(n - 1) \cdot n}{2}$$ $$= 2n^2 - n - (n - 1) \cdot n$$ $$= 2n^2 - n - n^2 + n$$ $$= n^2.$$

Dakle, zbroj prvih $n$ neparnih prirodnih brojeva jednak je $n^2$.

Kako je $40\ 000 = 200^2$, zaključujemo da je zadani zbroj, zbroj prvih $200$ neparnih prirodnih brojeva.

Traženi broj $k$ je $200$-ti neparni prirodan broj, zato je

$$k = 2 \cdot 200 - 1 = 399.$$