6. Zadatak

Neka su $2n - 1$ i $2m - 1$, $n,m \in \mathbb{N}$, dva neparna prirodna broja. Potrebno je dokazati da je

$$(2n - 1)^4 - (2m - 1)^4$$

djeljivo sa $16$.

Ako je $n = m$, $n,m \in \mathbb{N}$, tvrdnja vrijedi jer je $0$ djeljiva brojem $16$.

Bez smanjenja općenitosti uzmimo da je $n > m$, $n,m \in \mathbb{N}$.

$$\begin{aligned} (2n - 1)^4 - (2m - 1)^4 &= \left((2n - 1)^2\right)^2 - \left((2m - 1)^2\right)^2\\ &= \left((2n - 1)^2 - (2m - 1)^2\right)\left((2n - 1)^2 + (2m - 1)^2\right)\\ &= (2n - 1 - 2m + 1)(2n - 1 + 2m - 1)\\ &\quad\cdot (4n^2 - 4n + 1 + 4m^2 - 4m + 1)\\ &= (2n - 2m)(2n + 2m - 2)\\ &\quad\cdot (4n^2 - 4n + 4m^2 - 4m + 2)\\ &= 8(n - m)(n + m - 1)\\ &\quad\cdot (2n^2 - 2n + 2m^2 - 2m + 1). \end{aligned}$$

U dobivenom umnošku prvi je faktor $8$, a zadnji je neparan prirodan broj. Da bi pokazali da je umnožak djeljiv sa $16$, potrebno je još pokazati da je ili drugi ili treći faktor ovog umnoška paran. Imamo dva moguća slučaja:

1) Ako su $n$ i $m$ iste parnosti, tada je njihova razlika $n - m$ paran broj, pa je

$$(2n - 1)^4 - (2m - 1)^4 = 8 \cdot 2k(n + m - 1)(2n^2 - 2n + 2m^2 - 2m + 1) = 16l,$$

$k,l \in \mathbb{N}$, dakle razlika četvrtih potencija dvaju neparnih prirodnih brojeva je djeljiva sa $16$.

2) Ako su $n$ i $m$ različite parnosti, onda je $n + m - 1$ paran broj, pa je

$$(2n - 1)^4 - (2m - 1)^4 = 8(n - m) \cdot 2k(2n^2 - 2n + 2m^2 - 2m + 1) = 16l,$$

$k,l \in \mathbb{N}$, dakle razlika četvrtih potencija dvaju neparnih prirodnih brojeva je djeljiva sa $16$.