1. Zadatak

Označimo središta tih kružnica s $H$ i $I$, a dirališta tangenata $K$ i $J$, kao na slici.

Površina četverokuta $HKIJ$ jednaka je površini jednakostraničnog trokuta duljine stranice $2r$, tj.

$$P_{HKIJ}=\frac{(2r)^2\sqrt3}{4}=r^2\sqrt3.$$

Površina dijela ravnine između tangenti i krugova određenih zadanim kružnicama jednaka je razlici površine četverokuta $HKIJ$ i zbroja površina dvaju kružnih isječaka.

Kako je $\triangle HIJ$ pravokutan sa šiljastim kutovima veličine $30^\circ$ i $60^\circ$, onda je središnji kut jednog od tih isječaka veličine $60^\circ$, a drugog $120^\circ$ i radijusi tih isječaka su $r$.

$$P_{I_1}+P_{I_2}=60\cdot\frac{r^2\pi}{360}+120\cdot\frac{r^2\pi}{360}=\frac12r^2\pi.$$

Sada je površina traženog dijela ravnine

$$P_d=P_{HKIJ}-(P_{I_1}+P_{I_2})=r^2\sqrt3-\frac12r^2\pi=r^2\left(\sqrt3-\frac12\pi\right).$$

Omjer površina je

$$\frac{r^2\sqrt3}{r^2\left(\sqrt3-\frac12\pi\right)}=\frac{\sqrt3}{\sqrt3-\frac12\pi}=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt3-\pi}.$$