2. Zadatak

$$ab=(1-10b)b=b-10b^2$$ $$=-10b^2+b=-10\left(b^2-\frac1{10}b\right)$$ $$=-10\left(b^2-\frac1{10}b+\frac1{400}-\frac1{400}\right)$$ $$=-10\left(b^2-\frac1{10}b+\frac1{400}\right)+\frac1{40}$$ $$=\frac1{40}-10\left(b-\frac1{20}\right)^2.$$

Kvadrat svakog broja je nenegativan broj, pa je i njegov deseterokratnik nenegativan.

Stoga slijedi

$$\frac1{40}-10\left(b-\frac1{20}\right)^2\le\frac1{40}.$$

Ako je $ab=\frac1{40}$, onda je

$$10\left(b-\frac1{20}\right)^2=0,$$ $$b-\frac1{20}=0$$ $$b=\frac1{20}.$$

Konačno, imamo

$$a=1-10b=1-10\cdot\frac1{20}=\frac12.$$

Zato je najveća moguća vrijednost umnoška $a\cdot b$ jednaka $\frac1{40}$.