3. Zadatak

Kvadrat broja djeljivog s $5$ je djeljiv s $5$, a dodatno vrijedi:

$$(5k\pm1)^2=25k^2\pm10k+1=5(5k^2\pm2k)+1$$ $$(5k\pm2)^2=25k^2\pm20k+4=5(5k^2\pm4k)+4. \tag{*}$$

Dakle, kvadrat prirodnog broja daje ostatak $0$, $1$ i $4$ pri dijeljenju s $5$.

Pretpostavimo li da duljine kateta $a$ i $b$ nisu djeljive s $5$, iz Pitagorinog poučka i $(*)$, zaključujemo da tada $c^2$ (pri čemu je $c$ duljina hipotenuze) može dati ostatak $2$, $3$ ili $0$ pri dijeljenju s $5$. No, kako znamo da ne može dati ostatke $2$ i $3$ pri dijeljenju s $5$, slijedi da je $c^2$ djeljivo s $5$, odnosno da je $c$ djeljivo s $5$.