5. Zadatak
Dvanaest prijatelja odlučilo je večeri zaredom izaći na zajedničku večeru. U svakom od tih izlazaka oni se raspoređuju tako da sjede oko stolova, za svakim stolom isti broj prijatelja. Postoji li takav raspored sjedenja da svatko od njih ima priliku barem jednom sjediti za istim stolom sa svakim od preostalih prijatelja, ako je:
a) i ?
b) i ?
c) i ?
Među prijatelja ima parova prijatelja. Može li svaki od parova barem jednom sjediti za istim stolom?
a) Za svakim od stola sjede prijatelja te se za jednim stolom mogu ostvariti „ zajednička sjedenja“. Budući da je stolova , a različitih večera , nije moguće ostvariti više od „zajedničkih sjedenja“ pa tako ni .
b) Za svakim od stola sjede prijatelja te se za jednim stolom mogu ostvariti „ zajedničkih sjedenja“, a na ukupno stola „ zajedničkih sjedenja“. Na sljedećoj večeri nije moguće ostvariti toliko novih „zajedničkih sjedenja“ – promotrimo osobe koje su na prethodnoj večeri sjedile za istim stolom. Barem dvije od njih moraju i na sljedećoj večeri sjediti za istim stolom, jer je stolova ukupno . Kako imamo ukupno stola, imamo i tri para takvih osoba koji će i na sljedećoj večeri morati biti za istim stolom. To znači da na sljedećoj večeri može biti najviše „zajedničkih sjedenja“, tj. za večere to je najviše „zajedničkih sjedenja“ pa ne mogu ostvariti „zajedničkih sjedenja“.
c) U ovom slučaju je moguć takav raspored. Označimo prijatelje brojevima od do .
1. večera
- stol: ; 2. stol: .
2. večera
- stol: ; 2. stol: .
3. večera
- stol: ; 2. stol: .
Očito je takav raspored dobar. Naime, prijatelje smo podijelili u 4 grupe(1-3, 4-6, 7-9, 10-12), svaka od grupa je međusobno ostvarila „zajedničko sjedenje“ na svakoj večeri, a svaka od te grupe je bila s onom drugom jednom za istim stolom.