4. Zadatak

Neka je $|SP|=3\ \mathrm{cm}$, a $|SQ|=4\ \mathrm{cm}$. Četverokut $ABCD$ je trapez kojem su $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ osnovice jer je $AB\parallel CD$.

Površina trapeza iznosi $P=sv$, gdje je $s=\frac{a+b}{2}$, a $a$ i $b$ su duljine osnovica trapeza.

Tada je $80=s\cdot8$, iz čega je $s=\frac{a+b}{2}=10$, pa je $a+b=20$.

Pravokutni trokuti $\triangle SMP$ i $\triangle SQN$ imaju hipotenuzu duljine $s/2=5\ \mathrm{cm}$.

Pomoću Pitagorinog poučka izračunamo $|MP|=4\ \mathrm{cm}$ i $|NQ|=3\ \mathrm{cm}$.

Neka su $E$ i $F$ nožišta visina trapeza iz vrhova $D$ i $C$ redom, a $Z$ nožište visine $v$ trokuta $\triangle ABK$ iz vrha $K$.

Označimo duljine dužina $\overline{EZ}$ i $\overline{ZF}$ s $l$ i $m$ redom, a duljine dužina $\overline{AE}$ i $\overline{FB}$ s $y$ i $x$ redom.

Po KK poučku o sličnosti pravokutni trokuti $\triangle SMP$ i $\triangle BCF$ su slični jer je $|\angle PMS|=|\angle CBF|$ (kutovi uz presječnicu paralela).

Iz te sličnosti slijedi $|SP|:|MP|=|CF|:|BF|$ odnosno $3:4=8:x$, $x=\frac{32}{3}$.

Na isti način iz sličnosti $\triangle NQS$ i $\triangle AED$ slijedi $|SQ|:|QN|=|DE|:|AE|$, $4:3=8:y$, $y=6$.

Kako je četverokut $CDEF$ pravokutnik, jer su susjedne stranice okomite, slijedi da je $|EF|=|CD|=b$, pa je $x+y=a-b$.

Rješavanjem sustava $a-b=\frac{32}{3}+6$, $a+b=20$, dobije se $a=\frac{55}{3}$, $b=\frac53$.

Trokuti $\triangle AZK$ i $\triangle AED$ su slični po KK poučku o sličnosti, pa vrijedi omjer $v:8=(6+l):6$, iz čega slijedi $v=8+\frac43l$.

Trokuti $\triangle ZBK$ i $\triangle FBC$ su slični po KK poučku o sličnosti, pa vrijedi omjer $v:8=(m+\frac{32}{3}):\frac{32}{3}$, iz čega slijedi $v=\frac34m+8$.

Budući je $m+l=a-x-y$, vrijedi $m+l=\frac{55}{3}-6-\frac{32}{3}=\frac53$.

Rješavanjem sustava $\frac34m+8=8+\frac43l$, $m+l=\frac53$, dobije se $l=\frac35$, $v=\frac{44}{5}$.

Površina trokuta $\triangle ABK$ iznosi

$$P=\frac{a\cdot v}{2}=\frac{\frac{55}{3}\cdot\frac{44}{5}}{2}=\frac{242}{3}\ \mathrm{cm}^2.$$