7. Zadatak

Od jako dugog komada žice oblikuju se trokuti na sljedeći način:

Odmjeri se dio duljine 10 cm i dva dijela duljine 8 cm te se od njih oblikuje jednakokračni trokut, bez rezanja žice. Zatim se oblikovanje jednakokračnih trokuta od ostatka žice nastavlja tako da su duljine stranica svakog idućeg trokuta za 2 cm kraće od duljina odgovarajućih stranica prethodnog trokuta (pri tom svi trokuti imaju jedan zajednički vrh). Postupak se nastavlja bez rezanja žice, dok god je to moguće.

a) Koliko se najviše takvih trokuta može složiti ako se postupak nastavlja na opisani način?

b) Kad se na opisani način oblikuju svi mogući trokuti, prereže se žica. Koliki je zbroj opsega svih tako nastalih trokuta?

c) Od istog (odrezanog) komada žice oblikuje se pravokutnik čije se duljine susjednih stranica razlikuju za 12 cm. Izračunaj površinu tog pravokutnika.

a) Svi trokuti koji se slažu na opisani način su jednakokračni trokuti kojima je krak za 2 cm kraći od osnovice.

Ako označimo duljinu osnovica s $a$ , a duljine krakova s $b$ zbog nejednakosti trokuta mora vrijediti $2b>a$ .

Dakle, imamo sljedeće trokute:

$a$	$b$	$2b>a$
10 cm	8 cm	DA
8 cm	6 cm	DA
6 cm	4 cm	DA
4 cm	2 cm	NE

Na opisani način mogu se složiti najviše tri takva trokuta.

b) Lik koji dobijemo slaganjem žice sastoji se od tri jednakokračna trokuta s jednim zajedničkim vrhom.

Nacrtajmo jedan takav lik:

Službeni crtež lika od žice

Rub tog lika sastoji se od jedne stranice duljine 10 cm, tri stranice duljine 8 cm, tri stranice duljine 6 cm i dvije stranice duljine 4 cm.

Dakle, zbroj opsega svih složenih trokuta je:

o=10+3\cdot(8+6)+2\cdot4

o=60\ \text{cm}

c) Treba izračunati površinu pravokutnika čije se stranice razlikuju za 12 cm, a opseg je jednak duljini žice.

o=2(a+b)

Službeni crtež pravokutnika

Kako je opseg jednak 60 cm, onda je zbroj duljina susjednih stranica tog pravokutnika jednak

a+b=30\ \text{cm}.

Ako je $a-b=12\ \text{cm}$ , onda je $a=b+12$ , pa vrijedi:

b+12+b=30.

Stoga je $b=9\ \text{cm}$ , $a=21\ \text{cm}$ .

Površina tog pravokutnika je:

P=21\cdot9=189\ \text{cm}^2.