5. Zadatak

Ako su svih pet faktora jednaki imamo $5a=40$ tj. $a=8$, što nije prost broj, pa nije zadovoljen uvjet zadatka. Ako su četiri faktora jednaka imamo $4a+b=40$ pa je $b$ paran broj, odnosno $b=2$. Slijedi $4a=38$, odnosno $a=9.5$, što također ne zadovoljava uvjet zadatka.

Neka su $a$, $b$ i $c$ prosti faktori traženog broja gdje je $a$ prosti faktor koji se pojavljuje tri puta. Za preostala se dva ne zna jesu li međusobno jednaka ili različita.

Vrijedi $3a+b+c=40$. Imamo sljedeće mogućnosti:

$a$	$3a$	$b+c$	$a^3\cdot b\cdot c$
$2$	$6$	$34$	$2^3\cdot3\cdot31=744$
$2$	$6$	$34$	$2^3\cdot5\cdot29=1160$
$2$	$6$	$34$	$2^3\cdot11\cdot23=2024$
$2$	$6$	$34$	$2^3\cdot17\cdot17=2312$
$3$	$9$	$31$	$3^3\cdot2\cdot29=1566$
$5$	$15$	$25$	$5^3\cdot2\cdot23=5750$
$7$	$21$	$19$	$7^3\cdot2\cdot17=11662$
$11$	$33$	$7$	$11^3\cdot2\cdot5=13310$
$13$	$39$	$1$	nema rješenja

Ako se u rastavu pojave tri prosta broja veća ili jednaka $13$, zbroj će preostala dva faktora biti manji od $2$, pa zaključujemo da su navedena rješenja ujedno i jedina.

Ako je $x$ traženi broj, s rastavom na proste faktore $x=a^3\cdot b\cdot c$, tada su djelitelji broja $x$ brojevi $1$, $a$, $a^2$, $a^3$, $b$, $c$, $ab$, $bc$, $ac$, $a^2b$, $a^2c$, $a^3b$, $a^3c$, $abc$, $a^2bc$, $a^3bc$ i ima ih $16$.

Analogno, ako je $x$ traženi broj, s rastavom na proste faktore $x=a^3\cdot b^2$, tada su djelitelji broja $x$ brojevi $1$, $a$, $a^2$, $a^3$, $b$, $ab$, $b^2$, $a^2b$, $a^3b$, $ab^2$, $a^2b^2$, $a^3b^2$ i ima ih $12$.

Stoga brojevi $744$, $1160$, $2024$, $1566$, $5750$, $11662$ i $13310$ imaju po $16$ djelitelja, a broj $2312$ ima $12$ djelitelja.

Broj djelitelja se može odrediti kombinatorno i na sljedeći način.

Svaki djelitelj umnoška $a^3bc$ je oblika $a^m\cdot b^n\cdot c^k$ za $m\in\{0,1,2,3\}$, $n\in\{0,1\}$, $k\in\{0,1\}$, pa je broj prirodnih djelitelja takvog broja $4\cdot2\cdot2=16$.

Analogno, djelitelji umnoška $a^3b^2$ su oblika $a^m\cdot b^n$, pri čemu je $m\in\{0,1,2,3\}$, $n\in\{0,1,2\}$, pa je broj prirodnih djelitelja takvog broja $4\cdot3=12$.

Broj djelitelja može se odrediti i nabrajanjem svih djelitelja.

$a^3bc$	Djelitelji	Ukupan broj djelitelja
$744$	$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 31, 62, 93, 124, 186, 248, 372, 744$	$16$
$1160$	$1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 29, 40, 58, 116, 145, 232, 290, 580, 1160$	$16$
$2024$	$1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, 44, 46, 88, 92, 184, 253, 506, 1012, 2024$	$16$
$2312$	$1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 136, 289, 578, 1156, 2312$	$12$
$1566$	$1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 29, 54, 58, 87, 174, 261, 522, 783, 1566$	$16$
$5750$	$1, 2, 5, 10, 23, 25, 46, 50, 115, 125, 230, 250, 575, 1150, 2875, 5750$	$16$
$11662$	$1, 2, 7, 14, 17, 34, 49, 98, 119, 238, 343, 686, 833, 1666, 5831, 11662$	$16$
$13310$	$1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605, 1210, 1331, 2662, 6655, 13310$	$16$