4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $x$ broj minuta nakon $11$ sati kada će satna i minutna kazaljka prvi puta odrediti pravi kut, tj. kut čija je mjera $90^\circ$.

Minutna kazaljka za jednu minutu prijeđe $\frac1{60}$ punog kruga tj. $\frac{360^\circ}{60}=6^\circ$.

Nakon $x$ minuta minutna će kazaljka prijeći $(6x)^\circ$.

Satna kazaljka za jedan sat prijeđe $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$ pa za jednu minutu prijeđe $\frac{30^\circ}{60}=0.5^\circ$.

Nakon $x$ minuta satna će kazaljka prijeći $(0.5x)^\circ$.

Satna kazaljka kreće od položaja „11“, a velika od položaja „12“ pa kazaljke prvi puta određuju pravi kut kada vrijedi

$$30-0.5x+6x=90,$$

tj. vrijedi $5.5x=60$, odnosno

$$x=\frac{600}{55}=\frac{120}{11}=10\frac{10}{11}\text{ minuta}.$$

Kazaljke će prvi puta odrediti pravi kut u $11$ sati i $10\frac{10}{11}$ minuta.

Na sličan način odredimo kada će kazaljke drugi puta odrediti pravi kut. Vrijedi

$$30-0.5x+6x=270,$$

tj. vrijedi $5.5x=240$, odnosno

$$x=\frac{2400}{55}=\frac{480}{11}=43\frac7{11}\text{ minuta}.$$

Kazaljke će drugi puta odrediti pravi kut u $11$ sati i $43\frac7{11}$ minuta.

Znači između ta dva trenutka prošlo je $43\frac7{11}-10\frac{10}{11}=32\frac8{11}$ minuta.

Jedna minuta ima $60$ sekundi, pa je $\frac8{11}\text{ min}=\frac8{11}\cdot60\text{ s}\approx44\text{ s}$. U periodu između $11$ i $12$ sati između dva tražena trenutka proteći će približno $32$ minute i $44$ sekunde.

Drugo rješenje.

Kazaljke određuju pravi kut u točno $3{:}00$ sati. To se ponovno događa nešto malo kasnije od $4{:}05$, pa nakon $5{:}10$, $6{:}15$, itd.

Vremenski razmaci između trenutaka kada kazaljke zatvaraju pravi kut su jednaki.

Od $3{:}00$ do $15{:}00$ tj. unutar $12$ sati točno $11$ puta kazaljke određuju pravi kut.

Dakle, razmak je $\frac{12}{11}$ sata, te se takav položaj događa između $11$ i $12$ sati u $3+8\cdot\frac{12}{11}$ sati.

Analogno, kazaljke u $9{:}00$ sati određuju pravi kut. Te situacije se također ponavljaju svakih $\frac{12}{11}$ sata, a između $11$ i $12$ sati se takav položaj događa u $9+2\cdot\frac{12}{11}$ sati.

Razlika između ta dva vremena je

$$\left(3+8\cdot\frac{12}{11}\right)-\left(9+2\cdot\frac{12}{11}\right) =\frac{129}{11}-\frac{123}{11}=\frac6{11}\text{ sati}.$$

Budući da je $\frac6{11}\text{ h}=32\frac8{11}\text{ min}\approx32\text{ min }44\text{ s}$, u periodu između $11$ i $12$ sati između dva tražena trenutka proteći će približno $32$ minute i $44$ sekunde.