3. Zadatak

Neka su u raznostraničnom trokutu ABC duljine stranica $|AB|=c$, $|BC|=a$, $|AC|=b$, pri čemu je $a<b<c$, te neka je $|\sphericalangle BAC|=\alpha$, $|\sphericalangle CBA|=\beta$ i $|\sphericalangle ACB|=\gamma$.

Skica:

Zbog uvjeta zadatka slijedi da je $\beta=\frac{\alpha+\gamma}{2}$, tj. $2\beta=\alpha+\gamma$.

Kako je $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$, zamjenom dobivene vrijednosti vrijedi jednakost $2\beta+\beta=180^\circ$,

tj. vrijedi $\beta=60^\circ$.

Prema drugom uvjetu zadatka $c=2a$ ili $a=\frac c2$ pa je $\gamma>\alpha$.

Neka je točka P polovište najdulje stranice $|AB|=c$ trokuta $ABC$.

Tada je $|AP|=|BP|=\frac c2$, a zbog $a=\frac c2$ slijedi da je $|BP|=|BC|=\frac c2$.

To znači da je trokut BCP jednakokračan s krakovima $\overline{BP}$ i $\overline{BC}$ i kutovima uz osnovicu $|\sphericalangle BPC|=|\sphericalangle PCB|=60^\circ$.

Slijedi da je trokut BCP jednakostraničan.

Zbog toga je $|PB|=|PC|$, a kako vrijedi $|PA|=|PB|$, vrijedi $|PA|=|PC|$. Slijedi da je trokut PCA jednakokračan s kutovima uz osnovicu $|\sphericalangle PAC|=|\sphericalangle ACP|=\alpha$.

Kako je $|\sphericalangle BPC|=60^\circ$ vanjski kut trokuta PCA vrijedi jednakost $\alpha+\alpha=60^\circ$, tj. $\alpha=30^\circ$.

Slijedi da je $\gamma=|\sphericalangle ACB|=90^\circ$.