4. Zadatak

Prvi način:

Uz oznake kao na slici neka je $|AP|=v$.

Trokuti $\triangle S_1DA$ i $\triangle S_2EA$ su slični po KK poučku, pa vrijedi:

$$16:r=(v-16):(v-r-2\cdot16)$$ $$16:r=(v-16):(v-r-32)$$ $$16(v-r-32)=r(v-16)$$ $$16v-16r-512=rv-16r$$ $$16v-rv=512$$ $$v(16-r)=512$$ $$v=\frac{512}{16-r}$$

Trokuti $\triangle S_1DA$ i $\triangle CPA$ su slični po KK poučku, pa vrijedi:

$$32:16=b:(v-16)$$ $$2:1=b:(v-16)$$ $$b=2v-32$$

Uvrštavanjem $v=\frac{512}{16-r}$ u prethodnu jednakost dobivamo:

$$b=2\cdot\frac{512}{16-r}-32$$ $$b=\frac{1024-32\cdot16+32r}{16-r}$$ $$b=\frac{512+32r}{16-r}$$ $$b=\frac{32(16+r)}{16-r}$$

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $\triangle CPA$ dobivamo:

$$b^2=v^2+32^2$$ $$\left[\frac{32(16+r)}{16-r}\right]^2=\left(\frac{512}{16-r}\right)^2+32^2$$ $$32^2\cdot\frac{(16+r)^2}{(16-r)^2}=\frac{512^2}{(16-r)^2}+32^2\quad/ :32^2$$ $$\frac{(16+r)^2}{(16-r)^2}=\frac{16^2}{(16-r)^2}+1\quad/\cdot(16-r)^2$$ $$(16+r)^2=256+(16-r)^2$$ $$256+32r+r^2=256+256-32r+r^2$$ $$64r=256$$ $$r=4\text{ cm}$$

Duljina polumjera druge kružnice je 4 cm.

Drugi način:

Trokuti $\triangle S_1DA$ i $\triangle CPA$ su slični po KK poučku, pa vrijedi:

$$32:16=b:(v-16)$$ $$2:1=b:(v-16)$$ $$b=2v-32$$

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $\triangle CPA$ dobivamo:

$$b^2=v^2+32^2$$

Uvrštavanjem se dobije:

$$(2v-32)^2=v^2+32^2$$ $$4v^2-128v+32^2=v^2+32^2$$ $$3v^2=128v$$ $$v=\frac{128}{3}$$

Trokuti $\triangle S_1DA$ i $\triangle S_2EA$ su slični po KK poučku, pa vrijedi:

$$16:r=(v-16):(v-r-2\cdot16)$$ $$16:r=(v-16):(v-r-32)$$ $$16(v-r-32)=r(v-16)$$ $$16v-16r-512=rv-16r$$ $$16v-rv=512$$ $$v(16-r)=512$$ $$v=\frac{512}{16-r}$$

Izjednačavanjem se dobije:

$$\frac{512}{16-r}=\frac{128}{3}$$ $$128\cdot(16-r)=512\cdot3$$ $$16-r=12$$ $$r=4$$

Duljina polumjera manje kružnice je 4 cm.