3. Zadatak

Najprije odredimo najmanji prirodan broj $k_1$ takav da vrijedi da je zbroj kvadrata bilo kojih $k_1$ uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 5.

Analizirajmo ostatke kvadrata prirodnih brojeva pri dijeljenju brojem 5. Neka je $l$ prirodan broj i $n=5l$. Tada je:

$$n^2=25l^2=5\cdot5l^2,$$ $$(n+1)^2=(5l+1)^2=25l^2+10l+1=5(5l^2+2l)+1,$$ $$(n+2)^2=(5l+2)^2=25l^2+20l+4=5(5l^2+4l)+4,$$ $$(n+3)^2=(5l+3)^2=25l^2+30l+9=5(5l^2+6l+1)+4,$$ $$(n+4)^2=(5l+4)^2=25l^2+40l+16=5(5l^2+8l+3)+1.$$

Iz gore navedenog slijedi da je zbroj kvadrata bilo kojih 5 uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 5. (1)

S obzirom da su ostaci kvadrata prirodnog broja pri dijeljenju brojem 5 redom 1, 4, 4, 1, 0, itd., najmanji prirodan broj $k_1$ takav da vrijedi da je zbroj kvadrata bilo kojih $k_1$ uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 5 je upravo $k_1=5$. (Očito je $k_1\ne1$, jer možemo uzeti broj koji nije djeljiv brojem 5, $k_1\ne2$, jer možemo npr. uzeti dva susjedna od kojih je jedan djeljiv brojem 5, $k_1\ne3$, jer možemo uzeti brojeve koji daju ostatke 1, 4 i 4 pri dijeljenju brojem 5, $k_1\ne4$, jer možemo uzeti četiri uzastopna broja među kojima je i onaj djeljiv brojem 5.)

Odavde slijedi i da je zbroj kvadrata uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 5 ako i samo ako tih brojeva ima $5i$, gdje je $i$ prirodan broj.

Odredimo sada najmanji prirodan broj $k_2$ takav da vrijedi da je zbroj kvadrata bilo kojih $k_2$ uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 3. Najprije, neka je $m=3l$, gdje je $l$ prirodan broj. Tada je:

$$m^2=9l^2=3\cdot3l^2,$$ $$(m+1)^2=(3l+1)^2=9l^2+6l+1=3(3l^2+2l)+1,$$ $$(m+2)^2=(3l+2)^2=9l^2+12l+4=3(3l^2+4l+1)+1.$$

S obzirom da su ostaci kvadrata prirodnog broja pri dijeljenju brojem 3 redom 1, 1, 0, 1, 1, 0, itd., zbroj tri uzastopna kvadrata daje ostatak 2 pri dijeljenju brojem 3 pa iz navedenog slijedi da je zbroj kvadrata bilo kojih 9 uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 3, (2) a najmanji prirodan broj $k_2$ takav da vrijedi da je zbroj kvadrata bilo kojih $k_2$ uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 3 je upravo $k_2=9$. (Očito je $k_2\ne1$, jer možemo uzeti broj koji nije djeljiv brojem 3, $k_2\ne4$, jer možemo uzeti dva broja djeljiva brojem 3, $k_2\ne5$, jer možemo uzeti samo jedan broj djeljiv brojem 3, $k_2\ne7,8$, jer možemo uzeti tri broja djeljiva brojem 3, a očito je $k_2\ne2,3,6$, jer ni za koja dva, tri i šest kvadrata uzastopnih brojeva zbroj nije djeljiv brojem 3.)

Odavde slijedi i da je zbroj kvadrata uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 3 ako i samo ako tih brojeva ima $9i$, gdje je $i$ prirodan broj.

Iz (1) i (2) slijedi da je zbroj kvadrata bilo kojih 45 uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv brojem 15.

Budući da je 45 najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 9, broj $k=45$ je i traženi minimalni broj. Naime, za bilo koji broj $m<45$, vrijedi da nije djeljiv ili brojem 5 ili brojem 9 pa, prema gore navedenom, ne može dijeliti zbroj kvadrata prvih $m$ prirodnih brojeva.

Primjedba: Moguće ostatke kvadrata pri dijeljenju brojem 5, odnosno brojem 3, možemo ispitati i ovako:

$$(5k\pm1)^2=25k^2\pm10k+1,\qquad (5k\pm2)^2=25k^2\pm20k+4,\qquad \text{odnosno }(3k\pm1)^2=9k^2+6k+1.$$