4. Zadatak

Prvi način:

Središnji kut $\angle A_1SA_2$ iznosi

$$\alpha=\frac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$

Unutarnji kut $\angle A_1A_2A_3$ iznosi

$$\beta=\frac{(12-2)\cdot180^\circ}{12}=150^\circ.$$

Kutovi uz osnovicu karakterističnog trokuta iznose $\beta/2=75^\circ$.

Kako je $|\angle A_1SA_3|=2\cdot30^\circ=60^\circ$ i $|SA_1|=|SA_3|$, onda je trokut $A_1A_3S$ jednakostraničan pa je

$$|A_1A_3|=|SA_1|=|SA_3|=12\text{ cm}.$$

Pravac $SA_2$ je simetrala kuta $\angle A_1SA_3$ i simetrala stranice $\overline{A_1A_3}$ trokuta $A_1A_3S$ pa je okomit na stranicu $\overline{A_1A_3}$.

Četverokut $A_1A_2A_3S$ je četverokut s okomitim dijagonalama pa je njegova površina

$$P=\frac{|A_1A_3|\cdot|SA_2|}{2}=\frac{12\cdot12}{2}=72\text{ cm}^2.$$

Takvih sukladnih četverokuta ima $6$ pa je površina mnogokuta

$$6\cdot72=432\text{ cm}^2.$$

Drugi način:

Središnji kut $\angle A_1SA_2$ iznosi $\alpha=360^\circ/12=30^\circ$.

Unutarnji kut $\angle A_1A_2A_3$ iznosi $\beta=((12-2)\cdot180^\circ)/12=150^\circ$.

Kutovi uz osnovicu karakterističnog trokuta iznose $\beta/2=75^\circ$.

U trokutu $A_1A_2S$ nacrtamo visinu iz $A_1$ na stranicu $\overline{A_2S}$ te neka je $D$ nožište te visine.

Tada je trokut $A_1DS$ polovica jednakostraničnog trokuta pa je $|A_1D|=|A_1S|/2=6$ cm.

Površina karakterističnog trokuta $A_1A_2S$ je

$$P=\frac{|A_2S|\cdot|A_1D|}{2}=\frac{12\cdot6}{2}=36\text{ cm}^2.$$

Pravilni dvanaesterokut ima $12$ sukladnih karakterističnih trokuta pa je

$$12\cdot36=432\text{ cm}^2.$$