5. Zadatak

Skica:

Kako je $\angle DMC$ obodni kut nad promjerom kružnice, onda je $|\angle DMC|=90^\circ$ pa je trokut $DCM$ pravokutan trokut.

Zbog toga je i trokut $ADM$ pravokutan.

Kako je $|\angle AMD|=90^\circ$, a prema uvjetu zadatka $|\angle DAC|=60^\circ$, to znači da je trokut $ADM$ polovica jednakostraničnog trokuta čija je duljina stranice $\frac{a}{2}$.

Zato je

$$|AM|=\frac{|AD|}{2}=\frac{a}{4}.$$

Tada je

$$|MC|=\frac{3a}{4}.$$

Slijedi

$$|AM|:|MC|=\frac{a}{4}:\frac{3a}{4}=1:3,$$

a to smo i trebali dokazati.

Na isti način dokazujemo da i točka $N$ dijeli stranicu $BC$ u istom omjeru, tj. da vrijedi

$$|BN|:|NC|=1:3.$$