3. Zadatak

Prvi način:

Imamo niz brojeva $x_1,x_2,\ldots,x_{2015}$ u kojem je svaki broj (osim prvog) prikazan pomoću njegovog prethodnika. Najprije pokažemo da se svaki od tih brojeva može prikazati pomoću broja $x_1$.

Za $x_1$ i $x_2$ traženo već imamo. Dalje je

$$\begin{aligned} x_3&=\frac{1+x_2}{1-x_2} =\frac{1+\frac{1+x_1}{1-x_1}}{1-\frac{1+x_1}{1-x_1}} =\frac{\frac{1-x_1+1+x_1}{1-x_1}}{\frac{1-x_1-1-x_1}{1-x_1}}\\ &=\frac{2}{-2x_1}=-\frac{1}{x_1}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} x_4&=\frac{1+x_3}{1-x_3} =\frac{1-\frac{1}{x_1}}{1+\frac{1}{x_1}} =\frac{\frac{x_1-1}{x_1}}{\frac{x_1+1}{x_1}} =\frac{x_1-1}{x_1+1}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} x_5&=\frac{1+x_4}{1-x_4} =\frac{1+\frac{x_1-1}{x_1+1}}{1-\frac{x_1-1}{x_1+1}} =\frac{\frac{x_1+1+x_1-1}{x_1+1}}{\frac{x_1+1-x_1+1}{x_1+1}}\\ &=\frac{2x_1}{2}=x_1. \end{aligned}$$

Očito je dalje $x_6=x_2$, $x_7=x_3$ i tako dalje…

Općenito za $k\in\mathbb{N}$ vrijedi

$$x_{4k+1}=x_1,\qquad x_{4k+2}=x_2=\frac{1+x_1}{1-x_1},\qquad x_{4k+3}=x_3=-\frac{1}{x_1}\quad\text{i}\quad x_{4k}=x_4=\frac{x_1-1}{x_1+1}.$$

Kako je $2015=4\cdot503+3$, onda je

$$x_{2015}=x_3=-\frac{1}{x_1}.$$

Iz

$$-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{5}$$

slijedi $x_1=-5$.

Drugi način:

Iz

$$x_{2015}=\frac{1+x_{2014}}{1-x_{2014}}=\frac{1}{5}$$

izračuna se $x_{2014}=-\frac{2}{3}$.

Iz

$$x_{2014}=\frac{1+x_{2013}}{1-x_{2013}}=-\frac{2}{3}$$

izračuna se $x_{2013}=-5$.

Iz

$$x_{2013}=\frac{1+x_{2012}}{1-x_{2012}}=-5$$

izračuna se $x_{2012}=\frac{3}{2}$.

Iz

$$x_{2012}=\frac{1+x_{2011}}{1-x_{2011}}=\frac{3}{2}$$

izračuna se $x_{2011}=\frac{1}{5}$.

Iz

$$x_{2011}=\frac{1+x_{2010}}{1-x_{2010}}=\frac{1}{5}$$

može se zaključiti da će biti $x_{2010}=-\frac{2}{3}$ i tako dalje…

Općenito za $k\in\mathbb{N}$ vrijedi

$$x_{4k}=x_{2012}=\frac{3}{2},\qquad x_{4k+1}=x_{2013}=-5,\qquad x_{4k+2}=x_{2014}=-\frac{2}{3}$$

i

$$x_{4k+3}=x_{2015}=\frac{1}{5}.$$

Onda je $x_1=x_{4k+1}=-5$.