3. Zadatak

Prvi način:

Označimo prvi broj s $x$, a drugi broj s $y$. Tada vrijedi:

$$(x+y):(x-y):\frac{x}{y}=20:4:1.$$

Prema tome, postoji racionalan broj $k$ takav da vrijedi:

$$x+y=20k,\quad x-y=4k\quad\text{i}\quad\frac{x}{y}=k.$$

Zbrojimo li jednakosti $x+y=20k$ i $x-y=4k$ dobit ćemo:

$$2x=24k,$$

odnosno $x=12k$.

Sada imamo $12k+y=20k$, pa je $y=8k$.

Iz $\frac{x}{y}=k$ slijedi

$$\frac{12k}{8k}=k,$$

odnosno $k=1.5$.

Sada je $x=12\cdot1.5=18$,

i $y=8\cdot1.5=12$.

Traženi brojevi su $18$ i $12$.

Drugi način:

Označimo prvi broj s $x$, a drugi broj s $y$. Tada vrijedi:

$$(x+y):(x-y):\frac{x}{y}=20:4:1.$$

Iz $(x+y):(x-y)=20:4$ slijedi

$$4x+4y=20x-20y,\quad 16x=24y,\quad x=1.5y.$$

Iz $(x+y):\frac{x}{y}=20:1$ slijedi

$$x+y=20\cdot\frac{x}{y}=20\cdot\frac{1.5y}{y}=30.$$

Iz $(x-y):\frac{x}{y}=4:1$ slijedi

$$x-y=4\cdot\frac{x}{y}=4\cdot\frac{1.5y}{y}=6.$$

Zbrajanjem $x+y=30$ i $x-y=6$, dobiva se $2x=36$, tj. $x=18$.

Tada je $y=30-x=30-18=12$.

Traženi brojevi su $18$ i $12$.

Treći način:

Označimo prvi broj s $x$, a drugi broj s $y$. Tada vrijedi:

$$(x+y):(x-y):\frac{x}{y}=20:4:1.$$

Iz $(x+y):(x-y)=20:4$, tj. $(x+y):(x-y)=5:1$, redom slijedi

$$x+y=5x-5y,\quad 4x=6y,$$

odakle je $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$.

Iz $(x+y):\frac{3}{2}=20:1$ slijedi

$$x+y=20\cdot\frac{3}{2}=30.$$

Iz $(x-y):\frac{3}{2}=4:1$ slijedi

$$x-y=4\cdot\frac{3}{2}=6.$$

Zbrajanjem $x+y=30$ i $x-y=6$, dobiva se $2x=36$, tj. $x=18$.

Tada je $y=30-x=30-18=12$.

Traženi brojevi su $18$ i $12$.