7. Zadatak

Prvi način:

Skica ili opis (Označimo sa $a$ duljinu veće, a s $b$ duljinu kraće stranice.)

Tada vrijedi $2a+2b=30$ odnosno $a+b=15$

i $a^2+b^2=113$.

Budući da je $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, nakon uvrštavanja dobivamo $15^2=113+2ab$ odnosno

$$2ab=225-113=112.$$

Budući da je $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, nakon uvrštavanja dobivamo

$$(a-b)^2=(a^2+b^2)-2ab=113-112,$$

odnosno $(a-b)^2=1$.

Ako je $(a-b)^2=1$, onda (uz pretpostavku da je $a>b$ tj. da je $a-b>0$) mora biti $a-b=1$.

Duljine stranica zadovoljavaju sustav jednadžbi

$$\begin{cases} a+b=15\\ a-b=1 \end{cases}$$

Rješavanjem sustava nalazimo rješenje $a=8$ cm i $b=7$ cm.

Drugi način:

Skica ili opis (Označimo sa $a$ duljinu veće, a s $b$ duljinu kraće stranice.)

Tada vrijedi $2a+2b=30$ odnosno $a+b=15$

i $a^2+b^2=113$.

Iz $a+b=15$ slijedi da je $b=15-a$ pa nakon uvrštavanja dobivamo $a^2+(15-a)^2=113$

odnosno $a^2+225-30a+a^2=113$.

Sređivanjem jednadžbe dobivamo $2a^2-30a+112=0$, a nakon dijeljenja cijele jednadžbe s 2, dobivamo $a^2-15a+56=0$.

Tu jednadžbu možemo faktorizirati tj. napisati u obliku umnoška $(a-8)(a-7)=0$.

Umnožak dvaju brojeva jednak je nuli samo u slučaju da je jedan od tih brojeva jednak nuli, tj. samo u slučaju $a=8$ cm (i tada je $b=7$ cm) ili $a=7$ cm (i tada je $b=8$ cm).

Kako smo označili sa $a$ dulju stranicu paralelograma, drugi slučaj otpada.

Dakle, $a=8$ cm i $b=7$ cm.

Skica ili opis (Označimo sa $a$ duljinu veće, a s $b$ duljinu kraće stranice.)

Tada vrijedi $2a+2b=30$ odnosno $a+b=15$

i $a^2+b^2=113$.

$a$	14	13	12	11	10	9	8
$b=15-a$	1	2	3	4	5	6	7
$a^2+b^2$	197	173	153	137	125	117	113