5. Zadatak

Prvi način:

Duljine kružnih lukova $\widehat{AB}$, $\widehat{BC}$ i $\widehat{AC}$ označimo redom $l_1$, $l_2$, $l_3$, a odgovarajuće im središnje kutove $\gamma_1$, $\alpha_1$ i $\beta_1$.

Budući da je

$$l_1=\frac{3}{12}\cdot2r\pi=\frac{1}{4}\cdot2r\pi$$

i

$$l_1=\frac{r\pi}{180^\circ}\cdot\gamma_1,$$

slijedi da je

$$\gamma_1=\frac{r\pi}{2}\cdot\frac{180^\circ}{r\pi}=90^\circ.$$

Analogno dobivamo da je $\alpha_1=120^\circ$ i $\beta_1=150^\circ$.

Kutovi trokuta $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ obodni su kutovi odgovarajućih središnjih kutova $\alpha_1$, $\beta_1$ i $\gamma_1$ pa je konačno $\alpha=60^\circ$, $\beta=75^\circ$ i $\gamma=45^\circ$.

Drugi način:

Duljine kružnih lukova iste kružnice proporcionalne su veličinama pripadnih središnjih kutova pa uz oznake kao na slici vrijedi $\gamma_1:\alpha_1:\beta_1=3:4:5$.

Budući da je $\gamma_1+\alpha_1+\beta_1=360^\circ$ i $360^\circ:(3+4+5)=360^\circ:12=30^\circ$, zaključujemo da je $\gamma_1=3\cdot30^\circ=90^\circ$, $\alpha_1=4\cdot30^\circ=120^\circ$ i $\beta_1=5\cdot30^\circ=150^\circ$.

Kutovi trokuta $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ obodni su kutovi odgovarajućih središnjih kutova $\alpha_1$, $\beta_1$ i $\gamma_1$ pa je konačno $\alpha=60^\circ$, $\beta=75^\circ$ i $\gamma=45^\circ$.